71 O valor máximo da função
f(t)=\frac{1}{2} \cos (2 t)+\operatorname{sen}(t) \text { é }é
a) 1 / 4
b) 1 / 2
c) 2 / 3
d) 3 / 4
e) 3 / 2

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo de
f(t)=\frac12\cos(2t)+\sin(t).
O conteúdo envolve funções trigonométricas e máximos, e vamos usar uma identidade de ângulo duplo para reescrever f como uma função quadrática de \sin(t).

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(2t)=1-2\sin^2(t)
para reescrever \tfrac12\cos(2t). Assim,
f(t)=\frac12\bigl(1-2\sin^2(t)\bigr)+\sin(t) =\;-\sin^2(t)+\sin(t)+\frac12.

Passo 3

Definindo x=\sin(t), sabemos que x\in[-1,1]. Então basta estudar a parábola
g(x)=-x^2+x+\frac12,
que é côncava para baixo (coeficiente de x^2 é negativo).

Passo 4

O vértice de g(x)=ax^2+bx+c ocorre em x=-\tfrac{b}{2a}. Aqui a=-1, b=1, logo
x_0=-\frac{1}{2(-1)}=\frac12,
que está dentro do intervalo [-1,1].

Passo 5

Calculamos o valor máximo em x_0=\tfrac12:
g\bigl(\tfrac12\bigr)=-\bigl(\tfrac12\bigr)^2+\tfrac12+\frac12 =-\frac14+1 =\frac34.
Verificando nas extremidades teríamos valores menores, então \frac34 é mesmo o máximo.

Resposta

d) \tfrac{3}{4}

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