72 Um disco circular uniforme cujo raio
é
está suspenso por um ponto da borda para formar um pêndulo físico. (a) Qual é o período? (b) A que distância do centro
existe um ponto de suspensão para o qual o período é o mesmo?
Passo 1
O enunciado dá um disco circular uniforme de raio
suspenso por um ponto da borda (isto é, a distância do centro ao ponto de suspensão é
). São pedidas duas coisas:
- (a) Qual é o período do pêndulo quando o disco está suspenso pela borda?
- (b) Existe algum ponto de suspensão a uma distância
do centro tal que o período seja o mesmo do caso (a)? Se sim, qual é essa distância ?
Informações numéricas que vou usar (peguei do enunciado):
-
. - Vou usar
.
Passo 2
Primeiro, a fórmula que dá o período de um pêndulo físico (pequenas oscilações) é obtida pela equação do movimento rotacional. Se o corpo tem momento de inércia em relação ao pivô
e o centro de massa está a uma distância
do pivô, o torque restaurador para pequenas rotações é
. A equação de movimento é
Isto é uma equação harmônica com frequência angular
Portanto o período é
Explicando cada símbolo:
é o período,
é o momento de inércia do corpo em relação ao ponto de suspensão (pivô),
é a massa do corpo,
é a aceleração da gravidade e
é a distância do centro de massa ao pivô.
Passo 3
Agora precisamos de
. Para um disco uniforme, o momento de inércia em torno do centro de massa (eixo perpendicular ao plano do disco) é
onde
é a massa do disco e
o raio. Essa fórmula vem de integrar
sobre o disco; o que importa aqui é memorizar que o disco tem
.
Passo 4
Para obter o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
onde
é a distância entre o centro de massa e o pivô. No caso (a) o pivô está na borda, então
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do período com
e
:
Cancelando
e simplificando
,
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora a parte (b): queremos encontrar
tal que o período com pivô a distância
do centro seja igual ao período do caso (a). Denotando
o momento de inércia em torno de um pivô a distância
, temos
O período correspondente é
Queremos
. Como ambos têm o fator
, podemos igualar os radicandos:
Substituindo
e
e cancelando
:
O lado direito é
, então
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Rearranjando:
Isso é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
As raízes são
Portanto as soluções são
A solução
corresponde ao pivô na borda (caso já conhecido). A outra solução é
, que satisfa z
e, portanto, é a distância pedida.
Passo 7
Calculemos o valor numérico de
:
Interpretação: se o disco for suspenso por um ponto no raio a
do centro (ou seja, a meio raio), o período pequeno será o mesmo que quando o disco é suspenso pela borda.
Resposta
(a)
(b)
(b)