72 Um disco circular uniforme cujo raio R é 12,6 \mathrm{~cm} está suspenso por um ponto da borda para formar um pêndulo físico. (a) Qual é o período? (b) A que distância do centro r<R existe um ponto de suspensão para o qual o período é o mesmo?

Passo 1

O enunciado dá um disco circular uniforme de raio R=12{,}6\\ \mathrm{cm} suspenso por um ponto da borda (isto é, a distância do centro ao ponto de suspensão é R). São pedidas duas coisas:
  • (a) Qual é o período do pêndulo quando o disco está suspenso pela borda?
  • (b) Existe algum ponto de suspensão a uma distância r<R do centro tal que o período seja o mesmo do caso (a)? Se sim, qual é essa distância r?
Informações numéricas que vou usar (peguei do enunciado):
  • R=12{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}126\\ \mathrm{m}.
  • Vou usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Primeiro, a fórmula que dá o período de um pêndulo físico (pequenas oscilações) é obtida pela equação do movimento rotacional. Se o corpo tem momento de inércia em relação ao pivô I_P e o centro de massa está a uma distância d do pivô, o torque restaurador para pequenas rotações é -M g d\,\theta. A equação de movimento é
I_P \,\ddot\theta = -M g d\,\theta.
Isto é uma equação harmônica com frequência angular
\omega^{2}=\frac{M g d}{I_P}.
Portanto o período é
T = 2\pi \sqrt{\frac{I_P}{M g d}}.
Explicando cada símbolo: T é o período, I_P é o momento de inércia do corpo em relação ao ponto de suspensão (pivô), M é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade e d é a distância do centro de massa ao pivô.

Passo 3

Agora precisamos de I_P. Para um disco uniforme, o momento de inércia em torno do centro de massa (eixo perpendicular ao plano do disco) é
I_{\text{CM}}=\frac{1}{2}M R^{2},
onde M é a massa do disco e R o raio. Essa fórmula vem de integrar r^{2}\,dm sobre o disco; o que importa aqui é memorizar que o disco tem I_{\text{CM}}=\tfrac12 M R^{2}.

Passo 4

Para obter o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
I_P = I_{\text{CM}} + M d^{2},
onde d é a distância entre o centro de massa e o pivô. No caso (a) o pivô está na borda, então d=R. Logo
I_{\text{ponta}} = \frac{1}{2}M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2}M R^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do período com I_P=\tfrac{3}{2}M R^{2} e d=R:
T = 2\pi \sqrt{\frac{I_P}{M g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{\tfrac{3}{2}M R^{2}}{M g R}}.
Cancelando M e simplificando R^{2}/R=R,
T = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}.
Substituindo R=0{,}126\\ \mathrm{m} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{3R}{2g}=\frac{3\cdot0{,}126}{2\cdot9{,}80}=\frac{0{,}378}{19{,}6}=0{,}0192857\ldots
\sqrt{\frac{3R}{2g}} \approx 0{,}1389
T = 2\pi\cdot 0{,}1389 \approx 0{,}873\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Agora a parte (b): queremos encontrar r<R tal que o período com pivô a distância r do centro seja igual ao período do caso (a). Denotando I(r) o momento de inércia em torno de um pivô a distância r, temos
I(r)=I_{\text{CM}}+M r^{2}=\frac{1}{2}M R^{2}+M r^{2}.
O período correspondente é
T(r)=2\pi\sqrt{\frac{I(r)}{M g r}}.
Queremos T(r)=T_{\text{ponta}}. Como ambos têm o fator 2\pi, podemos igualar os radicandos:
\frac{I(r)}{M r}=\frac{I_{\text{ponta}}}{M R}.
Substituindo I(r) e I_{\text{ponta}}=\tfrac{3}{2}M R^{2} e cancelando M:
\frac{\tfrac{1}{2}R^{2}+r^{2}}{r}=\frac{\tfrac{3}{2}R^{2}}{R}.
O lado direito é \tfrac{3}{2}R, então
\frac{1}{2}\frac{R^{2}}{r}+r=\frac{3}{2}R.
Multiplicando por 2r para eliminar denominadores:
R^{2}+2r^{2}=3Rr.
Rearranjando:
2r^{2}-3Rr+R^{2}=0.
Isso é uma equação quadrática em r. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = ( -3R)^{2}-4\cdot2\cdot R^{2}=9R^{2}-8R^{2}=R^{2}.
As raízes são
r=\frac{3R\pm \sqrt{\Delta}}{4}=\frac{3R\pm R}{4}.
Portanto as soluções são
r_{1}=\frac{3R+R}{4}=R, \qquad r_{2}=\frac{3R-R}{4}=\frac{R}{2}.
A solução r=R corresponde ao pivô na borda (caso já conhecido). A outra solução é r=\dfrac{R}{2}, que satisfa z r<R e, portanto, é a distância pedida.

Passo 7

Calculemos o valor numérico de r=\dfrac{R}{2}:
r=\frac{0{,}126\\ \mathrm{m}}{2}=0{,}063\\ \mathrm{m}=6{,}30\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: se o disco for suspenso por um ponto no raio a 6{,}30\\ \mathrm{cm} do centro (ou seja, a meio raio), o período pequeno será o mesmo que quando o disco é suspenso pela borda.

Resposta

(a) T=2\pi\sqrt{\dfrac{3R}{2g}}\approx 0{,}873\\ \mathrm{s}
(b) r=\dfrac{R}{2}=6{,}30\\ \mathrm{cm}

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