(IFPR 2023) Um objeto de massa m constante move-se num movimento unidimensional numa dada direção sobre uma linha reta sujeito a uma força resultante \vec{F}. A força é sempre paralela à direção do movimento, e sempre no mesmo sentido que ele. O objeto, em \boldsymbol{t}=\mathbf{0} \mathrm{s}, tem velocidade v_{0}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A intensidade da força, como função do tempo \boldsymbol{t}, é dada por \vec{F}==2 \boldsymbol{t}+8 \boldsymbol{t}^{3}+\boldsymbol{\pi} \cos (\boldsymbol{\pi} \boldsymbol{t} / 2), em que \boldsymbol{F} é dada em N, e \boldsymbol{t} em s. Sabendo-se que a massa do objeto vale m=1,0 \mathrm{~kg}. Calcule o módulo da velocidade do objeto para o instante \boldsymbol{t}=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o módulo da velocidade do objeto no instante \,t=1\\ \text{s}\,.
Informações fornecidas:
  • Velocidade inicial: v_{0}=1,0\\ \mathrm{m/s} (em t=0).
  • Massa: m=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • A força resultante, paralela ao movimento e no mesmo sentido da velocidade, é dada por
F(t)=2t+8t^{3}+\pi\cos\!\left(\tfrac{\pi t}{2}\right),
com F em N e t em s.
  • Quer-se o valor de |v(1\\ \text{s})| (nenhuma outra informação adicional foi exigida).

Passo 2

Conceito e relação que vamos usar (aula curtinha e prática):
  • A segunda lei de Newton relaciona força e aceleração por \,F(t)=m\,a(t)\,, onde a(t) é a aceleração no tempo t.
  • A aceleração é a derivada da velocidade: \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}\,.
    Combinar essas duas dá uma equação para a variação da velocidade:
\frac{dv}{dt}=\frac{F(t)}{m}.
Integrando ambos os lados de t=0 até t=1 obtém-se a variação da velocidade:
v(1)-v_{0}=\frac{1}{m}\int_{0}^{1} F(t)\,dt.
Isto é intuitivo: a área sob F(t)/m é o incremento de velocidade (impulso por unidade de massa). Como a força está no mesmo sentido da velocidade, o incremento será positivo.

Passo 3

Vamos calcular a integral termo a termo. Primeiro termo:
\int_{0}^{1} 2t\,dt.
Regra de integração: \int t\,dt=\tfrac{1}{2}t^{2}. Então
\int_{0}^{1} 2t\,dt = 2\cdot\left[\tfrac{1}{2}t^{2}\right]_{0}^{1} = \left[t^{2}\right]_{0}^{1}=1.

Passo 4

Segundo termo:
\int_{0}^{1} 8t^{3}\,dt.
Regra: \int t^{n}\,dt=\tfrac{1}{n+1}t^{n+1}. Assim
\int_{0}^{1} 8t^{3}\,dt = 8\cdot\left[\tfrac{1}{4}t^{4}\right]_{0}^{1} = 8\cdot\tfrac{1}{4}\cdot(1^{4}-0)=2.

Passo 5

Terceiro termo:
\int_{0}^{1} \pi\cos\!\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)\,dt.
Aqui a constante multiplicativa \pi sai da integral:
\pi\int_{0}^{1}\cos\!\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)\,dt.
Para integrar \cos(k t) usa-se \int \cos(k t)\,dt=\tfrac{1}{k}\sin(k t). Aqui k=\tfrac{\pi}{2}, então
\int_{0}^{1}\cos\!\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)\,dt = \left[\tfrac{2}{\pi}\sin\!\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)\right]_{0}^{1} = \tfrac{2}{\pi}\big(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(0)\big)=\tfrac{2}{\pi}\cdot(1-0)=\tfrac{2}{\pi}.
Multiplicando pela \pi que estava fora:
\pi\cdot \tfrac{2}{\pi}=2.

Passo 6

Somando as contribuições da integral total:
\int_{0}^{1} F(t)\,dt = 1 + 2 + 2 = 5.
Como m=1,0\\ \mathrm{kg}, a variação de velocidade é
\Delta v = \frac{1}{m}\int_{0}^{1} F(t)\,dt = \frac{1}{1,0}\cdot 5 = 5.
A velocidade no instante t=1\\ \text{s} vale v(1)=v_{0}+\Delta v. (O cálculo final numérico será apresentado na seção de resposta.)

Resposta

6,0\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados