(IFPR 2023) Um objeto de massa
constante move-se num movimento unidimensional numa dada direção sobre uma linha reta sujeito a uma força resultante
. A força é sempre paralela à direção do movimento, e sempre no mesmo sentido que ele. O objeto, em
, tem velocidade
. A intensidade da força, como função do tempo
, é dada por
, em que
é dada em N, e
em s. Sabendo-se que a massa do objeto vale
. Calcule o módulo da velocidade do objeto para o instante
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o módulo da velocidade do objeto no instante
.
Informações fornecidas:
- Velocidade inicial:
(em ). - Massa:
. - A força resultante, paralela ao movimento e no mesmo sentido da velocidade, é dada por
com
em N e
em s.
- Quer-se o valor de
(nenhuma outra informação adicional foi exigida).
Passo 2
Conceito e relação que vamos usar (aula curtinha e prática):
- A segunda lei de Newton relaciona força e aceleração por
, onde é a aceleração no tempo . - A aceleração é a derivada da velocidade:
.
Combinar essas duas dá uma equação para a variação da velocidade:
Integrando ambos os lados de
até
obtém-se a variação da velocidade:
Isto é intuitivo: a área sob
é o incremento de velocidade (impulso por unidade de massa). Como a força está no mesmo sentido da velocidade, o incremento será positivo.
Passo 3
Vamos calcular a integral termo a termo. Primeiro termo:
Regra de integração:
. Então
Passo 4
Segundo termo:
Regra:
. Assim
Passo 5
Terceiro termo:
Aqui a constante multiplicativa
sai da integral:
Para integrar
usa-se
. Aqui
, então
Multiplicando pela
que estava fora:
Passo 6
Somando as contribuições da integral total:
Como
, a variação de velocidade é
A velocidade no instante
vale
. (O cálculo final numérico será apresentado na seção de resposta.)