72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa três deslocamentos sucessivos no nível do solo:
, de
para sudoeste (ou seja,
entre sul e oeste),
, de
para leste, e
, de
em uma direção
ao norte do leste. Suponha que o sentido positivo do eixo
aponte para leste e o sentido positivo do eixo
aponte para o norte. Quais são (a) a componente
e (b) a componente
de
? Quais são (c) a componente
e (d) a componente y de
? Quais são (e) a componente
e (f) a componente
de
?
Quais são (g) a componente
e (h) a componente
, (i) o módulo e (j) o sentido do deslocamento total da formiga? Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida, (k) que distância ela deve percorrer e (l) em que direção deve se mover?
Passo 1
O enunciado dá três deslocamentos no plano (eixos:
para leste,
para norte) e pede as componentes de cada deslocamento, depois o deslocamento total (componentes, módulo e sentido) e finalmente a volta direta ao ponto inicial (distância e direção). Dados fornecidos:
-
: módulo , direção sudoeste (isto é, entre sul e oeste). -
: módulo , direção leste. -
: módulo , direção ao norte do leste.
O que é pedido:
(a) componente de
(b) componente de
(c) componente de
(d) componente de
(e) componente de
(f) componente de
(g) componente do deslocamento total
(h) componente do deslocamento total
(i) módulo
(j) sentido de (ângulo com o eixo
, especificando “N de E” ou equivalente)
(k) distância que a formiga deve percorrer para voltar diretamente ao ponto de partida (isto é, o módulo do vetor que a leva ao ponto inicial)
(l) direção que ela deve tomar para voltar (ângulo e indicação de norte/sul e leste/oeste).
(a) componente
(b) componente
(c) componente
(d) componente
(e) componente
(f) componente
(g) componente
(h) componente
(i) módulo
(j) sentido de
(k) distância que a formiga deve percorrer para voltar diretamente ao ponto de partida (isto é, o módulo do vetor que a leva ao ponto inicial)
(l) direção que ela deve tomar para voltar (ângulo e indicação de norte/sul e leste/oeste).
Passo 2
Breve aula prática sobre decompor vetores em componentes:
- Se um vetor tem módulo
e faz ângulo medido a partir do eixo (leste), então suas componentes são
- O sinal das componentes depende do quadrante: se o vetor aponta para oeste, a componente
é negativa; se aponta para sul, a componente é negativa. - Ângulos “ao norte do leste” significam medir a partir do
girando no sentido anti-horário; “sudoeste” significa direção entre sul e oeste, equivalente a um ângulo de medido a partir do .
Vou aplicar essa regra para cada deslocamento, prestando atenção no ângulo e nos sinais.
Passo 3
Calcular as componentes de
.
-
tem módulo e aponta para sudoeste. Sudoeste é sul de oeste, ou seja ângulo medido a partir do . - Usando
:
- Avaliando numericamente com
:
(Interpretação prática: componentes iguais em magnitude e ambas negativas porque sudoeste tem partes oeste e sul.)
Passo 4
Calcular as componentes de
.
-
tem módulo e aponta para leste, ou seja . - Aplicando:
(É óbvio: todo deslocamento para leste contribui só em
.)
Passo 5
Calcular as componentes de
.
-
tem módulo e direção ao norte do leste, isto é medido desde o . - Usando trigonometria:
(Resumo: componente
é
, componente
aproximadamente
.)
Passo 6
Somar componentes para obter o deslocamento total
.
- Componente
:
- Componente
:
(Interpretação: o total tem componente
positiva maior que componente
, então o vetor resultante aponta para nordeste, mais para leste do que para norte.)
Passo 7
Calcular o módulo do deslocamento total usando o Teorema de Pitágoras:
Agora as contas:
Passo 8
Calcular o sentido (ângulo) de
. Usar a função arco-tangente:
Avaliação numérica:
Interpretação em linguagem de direção:
aponta aproximadamente
ao norte do leste (ou seja,
N de E).
Passo 9
Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida é preciso percorrer o vetor oposto
.
- A distância que deve percorrer é exatamente o módulo de
:
- A direção é a oposta da de
: se é N de E, então é S de W. (Ambas as formas são equivalentes.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) aponta aproximadamente
ao norte do leste (
N de E)
(k) distância para voltar:
(l) direção para voltar: ao sul do oeste (ou equivalente:
S de W).
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) distância para voltar:
(l) direção para voltar: