72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa três deslocamentos sucessivos no nível do solo: \vec{d}_{1}, de 0,40 \mathrm{~m} para sudoeste (ou seja, 45^{\circ} entre sul e oeste), \vec{d}_{2}, de 0,50 \mathrm{~m} para leste, e \vec{d}_{3}, de 0,60 \mathrm{~m} em uma direção 60^{\circ} ao norte do leste. Suponha que o sentido positivo do eixo x aponte para leste e o sentido positivo do eixo y aponte para o norte. Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de \vec{d}_{1} ? Quais são (c) a componente x e (d) a componente y de \vec{d}_{2} ? Quais são (e) a componente x e (f) a componente y de \vec{d}_{3} ?
Quais são (g) a componente x e (h) a componente y, (i) o módulo e (j) o sentido do deslocamento total da formiga? Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida, (k) que distância ela deve percorrer e (l) em que direção deve se mover?

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos no plano (eixos: +x para leste, +y para norte) e pede as componentes de cada deslocamento, depois o deslocamento total (componentes, módulo e sentido) e finalmente a volta direta ao ponto inicial (distância e direção). Dados fornecidos:
  • \vec{d}_1: módulo 0,40\\ \text{m}, direção sudoeste (isto é, 45^\circ entre sul e oeste).
  • \vec{d}_2: módulo 0,50\\ \text{m}, direção leste.
  • \vec{d}_3: módulo 0,60\\ \text{m}, direção 60^\circ ao norte do leste.
O que é pedido:
(a) componente x de \vec{d}_1
(b) componente y de \vec{d}_1
(c) componente x de \vec{d}_2
(d) componente y de \vec{d}_2
(e) componente x de \vec{d}_3
(f) componente y de \vec{d}_3
(g) componente x do deslocamento total \vec{D}=\vec{d}_1+\vec{d}_2+\vec{d}_3
(h) componente y do deslocamento total
(i) módulo |\vec{D}|
(j) sentido de \vec{D} (ângulo com o eixo +x, especificando “N de E” ou equivalente)
(k) distância que a formiga deve percorrer para voltar diretamente ao ponto de partida (isto é, o módulo do vetor que a leva ao ponto inicial)
(l) direção que ela deve tomar para voltar (ângulo e indicação de norte/sul e leste/oeste).

Passo 2

Breve aula prática sobre decompor vetores em componentes:
  • Se um vetor tem módulo R e faz ângulo \theta medido a partir do eixo +x (leste), então suas componentes são
R_x = R\cos\theta,\qquad R_y = R\sin\theta.
  • O sinal das componentes depende do quadrante: se o vetor aponta para oeste, a componente x é negativa; se aponta para sul, a componente y é negativa.
  • Ângulos “ao norte do leste” significam medir a partir do +x girando no sentido anti-horário; “sudoeste” significa direção 45^\circ entre sul e oeste, equivalente a um ângulo de 225^\circ medido a partir do +x.
Vou aplicar essa regra para cada deslocamento, prestando atenção no ângulo e nos sinais.

Passo 3

Calcular as componentes de \vec{d}_1.
  • \vec{d}_1 tem módulo 0,40\\ \text{m} e aponta para sudoeste. Sudoeste é 45^\circ sul de oeste, ou seja ângulo \theta_1 = 180^\circ+45^\circ = 225^\circ medido a partir do +x.
  • Usando \,d_{1x}=d_1\cos\theta_1,\\ d_{1y}=d_1\sin\theta_1\,:
d_{1x}=0,40\cos 225^\circ = 0,40\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -0,40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
d_{1y}=0,40\sin 225^\circ = 0,40\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -0,40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Avaliando numericamente com \sqrt{2}\approx1,414:
d_{1x} \approx -0,40\cdot0,7071 = -0,2828\\ \text{m}\approx -0,283\\ \text{m},
d_{1y} \approx -0,2828\\ \text{m}\approx -0,283\\ \text{m}.
(Interpretação prática: componentes iguais em magnitude e ambas negativas porque sudoeste tem partes oeste e sul.)

Passo 4

Calcular as componentes de \vec{d}_2.
  • \vec{d}_2 tem módulo 0,50\\ \text{m} e aponta para leste, ou seja \theta_2=0^\circ.
  • Aplicando:
d_{2x}=0,50\cos 0^\circ = 0,50\cdot1 = 0,50\\ \text{m},
d_{2y}=0,50\sin 0^\circ = 0,50\cdot0 = 0,00\\ \text{m}.
(É óbvio: todo deslocamento para leste contribui só em x.)

Passo 5

Calcular as componentes de \vec{d}_3.
  • \vec{d}_3 tem módulo 0,60\\ \text{m} e direção 60^\circ ao norte do leste, isto é \theta_3=60^\circ medido desde o +x.
  • Usando trigonometria:
d_{3x}=0,60\cos 60^\circ = 0,60\cdot\frac{1}{2} = 0,30\\ \text{m},
d_{3y}=0,60\sin 60^\circ = 0,60\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 0,60\cdot0,8660\approx 0,5196\\ \text{m}\approx 0,520\\ \text{m}.
(Resumo: componente x é 0,30\\ \text{m}, componente y aproximadamente 0,520\\ \text{m}.)

Passo 6

Somar componentes para obter o deslocamento total \vec{D}=\vec{d}_1+\vec{d}_2+\vec{d}_3.
  • Componente x:
D_x = d_{1x}+d_{2x}+d_{3x} = (-0,2828)+0,50+0,30 = 0,5172\\ \text{m}\approx 0,517\\ \text{m}.
  • Componente y:
D_y = d_{1y}+d_{2y}+d_{3y} = (-0,2828)+0,00+0,5196 = 0,2368\\ \text{m}\approx 0,237\\ \text{m}.
(Interpretação: o total tem componente x positiva maior que componente y, então o vetor resultante aponta para nordeste, mais para leste do que para norte.)

Passo 7

Calcular o módulo do deslocamento total usando o Teorema de Pitágoras:
|\vec{D}|=\sqrt{D_x^{2}+D_y^{2}}=\sqrt{(0,5172)^{2}+(0,2368)^{2}}.
Agora as contas:
(0,5172)^{2}\approx 0,2675,\qquad (0,2368)^{2}\approx 0,05606,
|\vec{D}|\approx\sqrt{0,2675+0,05606}=\sqrt{0,32356}\approx 0,5688\\ \text{m}\approx 0,569\\ \text{m}.

Passo 8

Calcular o sentido (ângulo) de \vec{D}. Usar a função arco-tangente:
\theta = \arctan\!\left(\frac{D_y}{D_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{0,2368}{0,5172}\right)=\arctan(0,4579).
Avaliação numérica:
\theta\approx 24,7^\circ.
Interpretação em linguagem de direção: \vec{D} aponta aproximadamente 24,7^\circ ao norte do leste (ou seja, 24,7^\circ N de E).

Passo 9

Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida é preciso percorrer o vetor oposto -\vec{D}.
  • A distância que deve percorrer é exatamente o módulo de \vec{D}:
\text{distância} = |\vec{D}|\approx 0,569\\ \text{m}.â
  • A direção é a oposta da de \vec{D}: se \vec{D} é 24,7^\circ N de E, então -\vec{D} é 24,7^\circ S de W. (Ambas as formas são equivalentes.)

Resposta

(a) d_{1x} = -0,40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,283\\ \text{m}
(b) d_{1y} = -0,40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,283\\ \text{m}
(c) d_{2x} = 0,50\\ \text{m}
(d) d_{2y} = 0,00\\ \text{m}
(e) d_{3x} = 0,30\\ \text{m}
(f) d_{3y} \approx 0,520\\ \text{m}
(g) D_x \approx 0,517\\ \text{m}
(h) D_y \approx 0,237\\ \text{m}
(i) |\vec{D}|\approx 0,569\\ \text{m}
(j) \vec{D} aponta aproximadamente 24,7^\circ ao norte do leste ( 24,7^\circ N de E)
(k) distância para voltar: 0,569\\ \text{m}
(l) direção para voltar: 24,7^\circ ao sul do oeste (ou equivalente: 24,7^\circ S de W).

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