Uma mulher caminha 250 m na direção 30^{\circ} a leste do norte e, em seguida, caminha 175 m na direção leste. Determine
o ângulo do deslocamento total da mulher em relação ao ponto de partida.

Passo 1

O enunciado dá duas etapas do deslocamento da mulher e pede o ângulo do deslocamento total em relação ao ponto de partida. Dados fornecidos:
  • Primeiro deslocamento: 250\\ \text{m} na direção 30^{\circ} a leste do norte.
  • Segundo deslocamento: 175\\ \text{m} na direção leste.
    O que se pede: o ângulo do deslocamento total em relação ao ponto de partida (interpreto como o ângulo medido a partir do norte em direção ao leste — ou seja, “a leste do norte”).

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e explicar componentes vetoriais.
  • Tomar o eixo y apontando para o norte (positivo para norte) e o eixo x apontando para o leste (positivo para leste).
  • Qualquer deslocamento pode ser decomposto em componentes x (leste-oeste) e y (norte-sul). Se um vetor tem magnitude R e forma um ângulo \theta medido a partir do eixo y (norte) para o eixo x (leste), então as componentes são:
x = R\sin(\theta),\qquad y = R\cos(\theta).
Explicação rápida do porquê: ao projetar o vetor sobre o eixo x usando trigonometria do triângulo retângulo, o cateto adjacente ao ângulo medido desde o eixo y é R\cos\theta (fica no y) e o cateto oposto é R\sin\theta (fica no x).

Passo 3

Calcular as componentes dos dois deslocamentos usando trigonometria e valores conhecidos ( \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}).
Primeiro deslocamento ( R_1=250\\ \text{m}, \theta_1=30^\circ a leste do norte):
x_1 = 250\sin(30^\circ)=250\cdot\dfrac{1}{2}=125\\ \text{m},
y_1 = 250\cos(30^\circ)=250\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}\\ \text{m}.
Segundo deslocamento ( R_2=175\\ \text{m}, direção leste):
x_2=175\\ \text{m},\qquad y_2=0\\ \text{m}.
Somando componentes para obter o deslocamento total:
x_{\text{total}}=x_1+x_2=125+175=300\\ \text{m},
y_{\text{total}}=y_1+y_2=125\sqrt{3}+0=125\sqrt{3}\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar o ângulo do deslocamento total medido a partir do norte em direção ao leste.
Se o ângulo pedido for \theta a leste do norte, temos
\tan(\theta)=\dfrac{x_{\text{total}}}{y_{\text{total}}}.
Substituindo as componentes:
\tan(\theta)=\dfrac{300}{125\sqrt{3}}=\dfrac{300}{125}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{5}.
Portanto
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{5}\right).

Passo 5

Calcular numericamente o ângulo (aproximação em graus). Primeiro avaliar o valor da tangente:
\dfrac{4\sqrt{3}}{5}\approx\dfrac{4\cdot1{,}73205}{5}\approx1{,}38564.
Agora a inversa tangente:
\theta\approx\arctan(1{,}38564)\approx54{,}2^\circ.
Interpretação: o ângulo é aproximadamente 54{,}2^\circ a leste do norte. Força aí — tá ficando claro: o resultado mostra que o deslocamento total está mais voltado para leste do que o primeiro trecho.

Resposta

\theta\approx54{,}2^\circ a leste do norte.

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