71 Um vetor \vec{d} tem um módulo de 3,0 \mathrm{~m} e aponta para o sul. Determine (a) o módulo e (b) a orientação do vetor 5,0 \vec{d}. Determine (c) o módulo e (d) a orientação do vetor -2,0 \vec{d}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Informação dada: um vetor \vec{d} tem módulo \|\vec{d}\| = 3,0\\ \text{m} e aponta para o sul.
  • Perguntas:
    (a) determinar o módulo de 5,0\vec{d};
    (b) determinar a orientação de 5,0\vec{d};
    (c) determinar o módulo de -2,0\vec{d};
    (d) determinar a orientação de -2,0\vec{d}.

Passo 2

Conceito importante: multiplicação de um vetor por um escalar.
Se \lambda é um número real (escalar) e \vec{v} é um vetor, então o vetor \lambda\vec{v} tem módulo dado por
\|\lambda\vec{v}\| = |\lambda|\,\|\vec{v}\|.
Aqui:
  • \lambda é o escalar que multiplica o vetor;
  • \vec{v} é o vetor original;
  • |\lambda| é o valor absoluto de \lambda;
  • \|\cdot\| denota o módulo (comprimento) do vetor.
Explicação em palavras: multiplicar um vetor por um escalar estica ou encolhe o vetor pelo fator |\lambda|. Se \lambda>0, a direção do vetor permanece a mesma; se \lambda<0, a direção inverte-se (aponta para o lado oposto).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso vetor \vec{d}. Aqui \|\vec{d}\|=3,0\\ \text{m}. Vamos tratar cada caso separadamente, lembrando também da regra do sinal para a orientação.

Passo 4

Cálculo do módulo de 5,0\vec{d}. Usando \|\lambda\vec{d}\| = |\lambda|\,\|\vec{d}\| com \lambda=5,0:
\|5,0\vec{d}\| = |5,0| \cdot \|\vec{d}\| = 5,0 \cdot 3,0 = 15,0\\ \text{m}.
Passo a passo da conta: 5,0\times3,0 = 15,0.
Orientação de 5,0\vec{d}. Como o escalar 5,0 é positivo ( 5,0>0), a orientação não muda. Logo 5,0\vec{d} aponta para o mesmo sentido de \vec{d}, isto é, para o sul.

Passo 5

Cálculo do módulo de -2,0\vec{d}. Aplicando a mesma fórmula com \lambda=-2,0:
\|-2,0\vec{d}\| = |-2,0| \cdot \|\vec{d}\| = 2,0 \cdot 3,0 = 6,0\\ \text{m}.
Detalhe: o valor absoluto de -2,0 é 2,0, por isso o módulo fica positivo 6,0\\ \text{m}.
Orientação de -2,0\vec{d}. Como o escalar -2,0 é negativo, a direção do vetor inverte-se em relação a \vec{d}. Como \vec{d} aponta para sul, -2,0\vec{d} aponta para o oposto: para o norte.

Resposta

(a) 15,0\\ \text{m}
(b) sul
(c) 6,0\\ \text{m}
(d) norte

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