3.68 Enquanto o eixo de aço de seçāo transversal mostrado rotaciona a 120 rpm , uma medida estroboscópica indica que o ângulo de giro é de 2^{\circ} \mathrm{em} um comprimento de 4 m . Utilizando G=77,2 \mathrm{GPa}, determine a potência transmitida.

Passo 1

O enunciado pede a potência transmitida pelo eixo sabendo que ele gira a 120\\ \text{rpm} e que uma medida estroboscópica indica um ângulo de giro de 2^\circ ao longo de um comprimento de 4\\ \text{m}. O enunciado também fornece G=77{,}2\\ \text{GPa}.
Informações relevantes dadas (peguei as dimensões do corte na imagem fornecida):
  • Velocidade de rotação: 120\\ \text{rpm}.
  • Ângulo de torção total ao longo do comprimento L: \,2^\circ em L=4\\ \text{m}.
  • Módulo de cisalhamento: G=77{,}2\\ \text{GPa}.
  • Diâmetro externo (da imagem): 75\\ \text{mm} (peguei este dado da imagem).
  • Diâmetro interno (da imagem): 30\\ \text{mm} (peguei este dado da imagem).
O que é pedido: calcular a potência P transmitida pelo eixo.

Passo 2

Plano de solução (aqui explico a fórmula que vamos usar):
  • Para um eixo circular (ocasional) submetido à torção, a relação entre torque T, ângulo de torção total \varphi ao longo do comprimento L, módulo de cisalhamento G e momento polar de inércia torsional J é:
\varphi = \frac{T\,L}{G\,J}.
  • Desta equação isolamos o torque:
T = \frac{G\,J\,\varphi}{L}.
  • O momento polar de inércia torsional J para uma seção circular oca (raio externo r_o e raio interno r_i) é:
J=\frac{\pi}{2}\left(r_o^{4}-r_i^{4}\right).
  • Depois de achar T, a potência transmitida é:
P = T\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular em rad/s dada por \omega = \dfrac{2\pi N}{60} com N em rpm.
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo, explicando cada conversão de unidades.

Passo 3

Converter diâmetros (pegados da imagem) para raios em metros:
  • Diâmetro externo D_o=75\\ \text{mm}\Rightarrow r_o=\dfrac{D_o}{2}=37{,}5\\ \text{mm}=0{,}0375\\ \text{m}.
  • Diâmetro interno D_i=30\\ \text{mm}\Rightarrow r_i=\dfrac{D_i}{2}=15\\ \text{mm}=0{,}015\\ \text{m}.
Calcular r_o^{4} e r_i^{4}:
r_o^{4}=(0{,}0375)^{4}=1{,}9775390625\times10^{-6}\\ \text{m}^{4},
r_i^{4}=(0{,}015)^{4}=5{,}0625\times10^{-8}\\ \text{m}^{4}.

Passo 4

Calcular J usando a fórmula da seção oca:
J=\frac{\pi}{2}\left(r_o^{4}-r_i^{4}\right) =\frac{\pi}{2}\left(1{,}9775390625\times10^{-6}-5{,}0625\times10^{-8}\right).
Primeiro a diferença:
r_o^{4}-r_i^{4}=1{,}9269140625\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.
Agora,
J=\frac{\pi}{2}\times1{,}9269140625\times10^{-6} \approx 3{,}02679\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.

Passo 5

Converter o ângulo de torção de graus para radianos:
\varphi = 2^\circ = 2\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90}\\ \text{rad}\approx 0{,}0349066\\ \text{rad}.
O comprimento L é 4\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular o torque T pela fórmula T=\dfrac{G J \varphi}{L}.
Primeiro converter G para unidades SI:
G=77{,}2\\ \text{GPa}=77{,}2\times10^{9}\\ \text{Pa}.
Calcular GJ:
GJ=(77{,}2\times10^{9})\times(3{,}02679\times10^{-6})\approx 2{,}33668\times10^{5}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.
Agora
T=\frac{GJ\,\varphi}{L} =\frac{2{,}33668\times10^{5}\times 0{,}0349066}{4}.
Calculei passo a passo:
\frac{\varphi}{L}=\frac{0{,}0349066}{4}=0{,}00872665\\ \text{rad/m},
T\approx 2{,}33668\times10^{5}\times0{,}00872665\approx 2{,}039{,}14\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 7

Calcular a velocidade angular \omega a partir de N=120\\ \text{rpm}:
\omega=\frac{2\pi N}{60}=\frac{2\pi\cdot120}{60}=4\pi\\ \text{rad/s}\approx 12{,}5664\\ \text{rad/s}.

Passo 8

Calcular a potência:
P=T\,\omega \approx 2{,}039{,}14\times 12{,}5664 \approx 25{,}624\\ \text{W}\approx 25{,}6\\ \text{kW}.
Interpretação: o eixo transmite aproximadamente 25{,}6\\ \text{kW}. (Verificações rápidas: unidades coerentes, torque da ordem de 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m} e potência de algumas dezenas de kW faz sentido para um eixo com essas dimensões e rotação.)

Resposta

P \approx 25{,}6\\ \text{kW}

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