2.73 Uma arma está apontada para um ponto
localizado a
nordeste. Sabendo que o cano da arma forma um ângulo de
a horizontal e que a força de recuo máxima é 400 N , determine (a) os componentes
e
da força, (b) o valor dos ângulos
e
que definem a direção da força de recuo. (Considere que os eixos
e
apontam para leste, norte e sul, respectivamente).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
- A força de recuo tem intensidade máxima
. - A arma está apontada para um ponto
localizado a no sentido nordeste. Isso significa que, no plano horizontal, a direção forma um ângulo de medido a partir do eixo leste em direção ao norte (ou seja, componente leste = , componente norte = ). - O cano da arma forma um ângulo de
com a horizontal (elevação de acima do plano horizontal). - O enunciado diz: os eixos
e apontam para leste, norte e sul, respectivamente. Notei que “norte” e “sul” são direções opostas no plano horizontal, o que tornaria os eixos e colineares — isso não faz sentido para um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Por consistência com problemas típicos de estática/geométrica espacial (e para que os eixos sejam ortogonais), vou interpretar que houve um erro de digitação e adotar que: - o eixo
aponta para leste (positivo para leste), - o eixo
aponta para norte (positivo para norte), - o eixo
aponta para cima (positivo para cima).
Esta interpretação é necessária para quesejam mutuamente perpendiculares e a elevação de seja a componente vertical. Se o enunciado obrigatoriamente quisesse apontando para sul, não seria possível representar a elevação vertical com esse eixo; por isso faço a suposição acima.
- o eixo
O que pedem:
(a) determinar os componentes da força de recuo (em N);
(b) determinar os ângulos entre a força de recuo e os eixos
.
(a) determinar os componentes
(b) determinar os ângulos
Passo 2
Como vou obter os componentes vetoriais: represento a direção do cano (direção do disparo) por um vetor unitário e então uso que a força de recuo tem mesma linha de ação, mas sentido oposto. Algumas fórmulas e conceitos usados (explicados com carinho):
- Se a direção do disparo forma azimute
no plano horizontal medido a partir do eixo (leste) em direção ao eixo (norte), então as projeções no plano horizontal são na direção e na direção . Aqui . - Se o cano tem elevação
acima da horizontal, então a componente vertical unitária é (positiva para cima) e a amplitude do vetor no plano horizontal é . Aqui . - Assim, o vetor unitário que aponta no sentido do tiro (frente) é
Explicando cada termo:
-
é a fração do comprimento do vetor que fica no plano horizontal (pois sobe verticalmente). -
e dividem essa projeção horizontal nas direções e . -
é a fração vertical (componente ). -
A força de recuo tem sentido oposto ao tiro. Logo a força é
onde
é a magnitude dada.
- Para os ângulos com os eixos, usamos as “cossenas diretoras”:
Aqui
(pois multiplicamos um vetor unitário por
). Os ângulos
são então
.
Passo 3
Calcular os senos e cossenos dos ângulos numéricos usados (valores aproximados, suficientes para prova):
Agora a componente horizontal na direção
(antes de multiplicar pela magnitude) é
A componente horizontal na direção
é
A componente vertical (para cima) é
Verificação rápida (norma do vetor unitário):
ok (pequeno erro de arredondamento).
Passo 4
Agora multiplico pelo módulo
e troco o sinal (recuo é oposto ao tiro):
Interpretação de sinal: os sinais negativos indicam que a força de recuo aponta para o sentido oposto aos eixos positivos: para oeste (componente
negativa), para sul (componente
negativa? atenção:
positivo é norte, então
indica componente para sul), e para baixo (
indica para baixo) — lembrando que tomei
positivo para cima.
Passo 5
Cálculo dos ângulos com os eixos usando as cossenas diretoras (a magnitude
):
Tomando arccos em graus:
Observação intuitiva: como todos os cossenos são negativos, os ângulos com os eixos positivos ficam maiores que
, o que faz sentido porque a força de recuo aponta em sentido oposto ao sentido positivo dos eixos
conforme definido.