2.73 Uma arma está apontada para um ponto A localizado a 35^{\circ} nordeste. Sabendo que o cano da arma forma um ângulo de 40^{\circ} \mathrm{com} a horizontal e que a força de recuo máxima é 400 N , determine (a) os componentes x, y e z da força, (b) o valor dos ângulos \theta_{x}, \theta_{y} e \theta_{z} que definem a direção da força de recuo. (Considere que os eixos x, y e z apontam para leste, norte e sul, respectivamente).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • A força de recuo tem intensidade máxima 400\\ \text{N}.
  • A arma está apontada para um ponto A localizado a 35^\circ no sentido nordeste. Isso significa que, no plano horizontal, a direção forma um ângulo de 35^\circ medido a partir do eixo leste em direção ao norte (ou seja, componente leste = \cos 35^\circ, componente norte = \sin 35^\circ).
  • O cano da arma forma um ângulo de 40^\circ com a horizontal (elevação de 40^\circ acima do plano horizontal).
  • O enunciado diz: os eixos x, y e z apontam para leste, norte e sul, respectivamente. Notei que “norte” e “sul” são direções opostas no plano horizontal, o que tornaria os eixos y e z colineares — isso não faz sentido para um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Por consistência com problemas típicos de estática/geométrica espacial (e para que os eixos sejam ortogonais), vou interpretar que houve um erro de digitação e adotar que:
    • o eixo x aponta para leste (positivo para leste),
    • o eixo y aponta para norte (positivo para norte),
    • o eixo z aponta para cima (positivo para cima).
      Esta interpretação é necessária para que x,y,z sejam mutuamente perpendiculares e a elevação de 40^\circ seja a componente vertical. Se o enunciado obrigatoriamente quisesse z apontando para sul, não seria possível representar a elevação vertical com esse eixo; por isso faço a suposição acima.
O que pedem:
(a) determinar os componentes x,y,z da força de recuo (em N);
(b) determinar os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z entre a força de recuo e os eixos x,y,z.

Passo 2

Como vou obter os componentes vetoriais: represento a direção do cano (direção do disparo) por um vetor unitário e então uso que a força de recuo tem mesma linha de ação, mas sentido oposto. Algumas fórmulas e conceitos usados (explicados com carinho):
  • Se a direção do disparo forma azimute \varphi no plano horizontal medido a partir do eixo x (leste) em direção ao eixo y (norte), então as projeções no plano horizontal são \cos\varphi na direção x e \sin\varphi na direção y. Aqui \varphi=35^\circ.
  • Se o cano tem elevação \alpha acima da horizontal, então a componente vertical unitária é \sin\alpha (positiva para cima) e a amplitude do vetor no plano horizontal é \cos\alpha. Aqui \alpha=40^\circ.
  • Assim, o vetor unitário que aponta no sentido do tiro (frente) é
\mathbf{\hat{u}}_{\text{frente}} = \big(\cos\alpha\cos\varphi,\\ \cos\alpha\sin\varphi,\\ \sin\alpha\big).
Explicando cada termo:
  • \cos\alpha é a fração do comprimento do vetor que fica no plano horizontal (pois \sin\alpha sobe verticalmente).
  • \cos\varphi e \sin\varphi dividem essa projeção horizontal nas direções x e y.
  • \sin\alpha é a fração vertical (componente z).
  • A força de recuo tem sentido oposto ao tiro. Logo a força é
\mathbf{F} = -F\,\mathbf{\hat{u}}_{\text{frente}},
onde F=400\\ \text{N} é a magnitude dada.
  • Para os ângulos com os eixos, usamos as “cossenas diretoras”:
\cos\theta_x = \frac{F_x}{\lVert \mathbf{F}\rVert},\qquad \cos\theta_y = \frac{F_y}{\lVert \mathbf{F}\rVert},\qquad \cos\theta_z = \frac{F_z}{\lVert \mathbf{F}\rVert}.
Aqui \lVert\mathbf{F}\rVert=400\\ \text{N} (pois multiplicamos um vetor unitário por 400). Os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z são então \theta_i=\operatorname{arccos}\!\big(\frac{F_i}{400}\big).

Passo 3

Calcular os senos e cossenos dos ângulos numéricos usados (valores aproximados, suficientes para prova):
\cos 35^\circ \approx 0{,}819152,\qquad \sin 35^\circ \approx 0{,}573576,
\cos 40^\circ \approx 0{,}766044,\qquad \sin 40^\circ \approx 0{,}642788.
Agora a componente horizontal na direção x (antes de multiplicar pela magnitude) é
\cos\alpha\cos\varphi = \cos 40^\circ \cos 35^\circ \approx 0{,}766044 \times 0{,}819152 \approx 0{,}627576.
A componente horizontal na direção y é
\cos\alpha\sin\varphi = \cos 40^\circ \sin 35^\circ \approx 0{,}766044 \times 0{,}573576 \approx 0{,}439693.
A componente vertical (para cima) é
\sin\alpha = \sin 40^\circ \approx 0{,}642788.
Verificação rápida (norma do vetor unitário):
0{,}627576^2 + 0{,}439693^2 + 0{,}642788^2 \approx 0{,}393868 + 0{,}193342 + 0{,}413231 \approx 1{,}00044 \approx 1,
ok (pequeno erro de arredondamento).

Passo 4

Agora multiplico pelo módulo 400\\ \text{N} e troco o sinal (recuo é oposto ao tiro):
F_x = -400\times 0{,}627576 \approx -251{,}0304\\ \text{N}\approx -251{,}03\\ \text{N},
F_y = -400\times 0{,}439693 \approx -175{,}8772\\ \text{N}\approx -175{,}88\\ \text{N},
F_z = -400\times 0{,}642788 \approx -257{,}1152\\ \text{N}\approx -257{,}12\\ \text{N}.
Interpretação de sinal: os sinais negativos indicam que a força de recuo aponta para o sentido oposto aos eixos positivos: para oeste (componente x negativa), para sul (componente y negativa? atenção: y positivo é norte, então F_y<0 indica componente para sul), e para baixo ( F_z<0 indica para baixo) — lembrando que tomei z positivo para cima.

Passo 5

Cálculo dos ângulos com os eixos usando as cossenas diretoras (a magnitude \lVert\mathbf{F}\rVert = 400\\ \text{N}):
\cos\theta_x = \frac{F_x}{400} \approx \frac{-251{,}0304}{400} \approx -0{,}627576,
\cos\theta_y = \frac{F_y}{400} \approx \frac{-175{,}8772}{400} \approx -0{,}439693,
\cos\theta_z = \frac{F_z}{400} \approx \frac{-257{,}1152}{400} \approx -0{,}642788.
Tomando arccos em graus:
\theta_x = \operatorname{arccos}(-0{,}627576) \approx 129{,}0^\circ,
\theta_y = \operatorname{arccos}(-0{,}439693) \approx 116{,}1^\circ,
\theta_z = \operatorname{arccos}(-0{,}642788) \approx 130{,}0^\circ.
Observação intuitiva: como todos os cossenos são negativos, os ângulos com os eixos positivos ficam maiores que 90^\circ, o que faz sentido porque a força de recuo aponta em sentido oposto ao sentido positivo dos eixos x,y,z conforme definido.

Resposta

F_x = -251{,}03\\ \text{N}
F_y = -175{,}88\\ \text{N}
F_z = -257{,}12\\ \text{N}
\theta_x = 129{,}0^\circ
\theta_y = 116{,}1^\circ
\theta_z = 130{,}0^\circ

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