Qual é a distância sobre a superfície da Terra entre as cidades de Bogotá ( \lambda=74^{\circ} 4^{\prime} 33^{\prime \prime} \mathrm{O} ; \varphi=4^{\circ} 35^{\prime} 53^{\prime \prime} \mathrm{N} ) e a cidade de Oxford \left(\lambda=1^{\circ} 15^{\prime} 28^{\prime \prime} \mathrm{O} ; \varphi=51^{\circ} 45^{\prime} 7^{\prime \prime} \mathrm{N}\right) ?
Considere a Terra como uma esfera perfeita de raio R=6,37 \cdot 10^{6} \mathrm{~m}.
Como guia, utilize os capítulos 2 a 7 do livro “Astronomia e Astrofísica”, disponível em
http://astro.if.ufrgs.br/livro.pdf

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
  • Bogotá: longitude \lambda_1 = 74^\circ 4' 33''\\ \mathrm{O}, latitude \varphi_1 = 4^\circ 35' 53''\\ \mathrm{N}.
  • Oxford: longitude \lambda_2 = 1^\circ 15' 28''\\ \mathrm{O}, latitude \varphi_2 = 51^\circ 45' 7''\\ \mathrm{N}.
  • Raio da Terra: R = 6,37\cdot 10^{6}\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  • A distância sobre a superfície da Terra (ou seja, a distância ao longo do grande círculo) entre Bogotá e Oxford, usando a Terra como esfera perfeita de raio R.

Passo 2

Converter as coordenadas dadas em graus, minutos e segundos (DMS) para graus decimais. A fórmula é:
\text{graus decimais} = \text{graus} + \frac{\text{minutos}}{60} + \frac{\text{segundos}}{3600}.
Cálculos:
  • Bogotá longitude:
\lambda_1 = -\Bigl(74 + \frac{4}{60} + \frac{33}{3600}\Bigr)^\circ = -\Bigl(74 + 0{,}0666667 + 0{,}0091667\Bigr)^\circ = -74{,}0758334^\circ.
(negativa porque é \mathrm{O} — oeste)
  • Bogotá latitude:
\varphi_1 = +\Bigl(4 + \frac{35}{60} + \frac{53}{3600}\Bigr)^\circ = +\Bigl(4 + 0{,}5833333 + 0{,}0147222\Bigr)^\circ = +4{,}5980556^\circ.
  • Oxford longitude:
\lambda_2 = -\Bigl(1 + \frac{15}{60} + \frac{28}{3600}\Bigr)^\circ = -\Bigl(1 + 0{,}25 + 0{,}0077778\Bigr)^\circ = -1{,}2577778^\circ.
  • Oxford latitude:
\varphi_2 = +\Bigl(51 + \frac{45}{60} + \frac{7}{3600}\Bigr)^\circ = +\Bigl(51 + 0{,}75 + 0{,}0019444\Bigr)^\circ = +51{,}7519444^\circ.

Passo 3

Converter graus decimais para radianos. A relação é
\text{rad} = \text{graus}\times\frac{\pi}{180}.
Usando \dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}017453292519943295:
  • \varphi_1 em radianos:
\varphi_1 = 4{,}5980556^\circ\cdot\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0802512205\\ \text{rad}.
  • \varphi_2 em radianos:
\varphi_2 = 51{,}7519444^\circ\cdot\frac{\pi}{180} \approx 0{,}9032418121\\ \text{rad}.
  • \lambda_1 em radianos:
\lambda_1 = -74{,}0758334^\circ\cdot\frac{\pi}{180} \approx -1{,}2928667199\\ \text{rad}.
  • \lambda_2 em radianos:
\lambda_2 = -1{,}2577778^\circ\cdot\frac{\pi}{180} \approx -0{,}0219516396\\ \text{rad}.
Diferença de longitude:
\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 \approx -0{,}0219516396 - (-1{,}2928667199) \approx 1{,}2709150803\\ \text{rad}.

Passo 4

Apresentar a fórmula que liga as latitudes, a diferença de longitude e o ângulo central entre os pontos (lei esférica dos cossenos). Para duas posições (\varphi_1,\lambda_1) e (\varphi_2,\lambda_2) na esfera:
\cos\Delta\sigma = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\Delta\lambda),
onde \Delta\sigma é o ângulo central (em radianos) entre os dois pontos medido no centro da Terra. A distância sobre a superfície (arc length) é
s = R\,\Delta\sigma.
Explicando as variáveis:
  • \varphi_1,\varphi_2: latitudes (positivas no norte).
  • \lambda_1,\lambda_2: longitudes (positivas a leste, negativas a oeste).
  • \Delta\lambda = \lambda_2-\lambda_1.
  • \Delta\sigma: ângulo central entre os pontos; multiplicado por R dá a distância ao longo do grande círculo.

Passo 5

Calcular os senos e cossenos necessários e montar o lado direito da fórmula.
Valores aproximados (usando as radianas calculadas):
\begin{aligned} \sin\varphi_1 &\approx \sin(0{,}0802512205) \approx 0{,}080168\,,\\[4pt] \cos\varphi_1 &\approx \cos(0{,}0802512205) \approx 0{,}996745\,,\\[4pt] \sin\varphi_2 &\approx \sin(0{,}9032418121) \approx 0{,}785317\,,\\[4pt] \cos\varphi_2 &\approx \cos(0{,}9032418121) \approx 0{,}619052\,,\\[4pt] \cos(\Delta\lambda) &\approx \cos(1{,}2709150803) \approx 0{,}295399\,. \end{aligned}
Agora calcular os termos:
\sin\varphi_1\sin\varphi_2 \approx 0{,}080168\times 0{,}785317 \approx 0{,}062942,
\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\Delta\lambda) \approx 0{,}996745\times 0{,}619052\times 0{,}295399 \approx 0{,}182245.
Somando:
\cos\Delta\sigma \approx 0{,}062942 + 0{,}182245 = 0{,}245187.]

Passo 6

Determinar o ângulo central \Delta\sigma e a distância s.
Calcular \Delta\sigma:
\Delta\sigma = \operatorname{arccos}(0{,}245187) \approx 1{,}323012\\ \text{rad}.
Calcular a distância sobre a superfície:
s = R\,\Delta\sigma = 6{,}37\cdot 10^{6}\\ \mathrm{m}\times 1{,}323012 \approx 8{,}428{,}5\cdot 10^{6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros:
s \approx 8{,}428{,}5\\ \text{km}\approx 8{,}429\\ \text{km} \quad(\text{arredondado para 3 algarismos significativos}).

Resposta

8{,}428{,}5\cdot 10^{3}\\ \mathrm{km} \approx 8{,}429\\ \mathrm{km}

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