73- Quando se executa um trabalho de 1000 J sobre uma roda de pás o valor da sua frequência aumenta de 60 r.p.m para 180 r.p.m. Qual é o valor do momento de inércia da roda? \boldsymbol{R}: \mathbf{6 , 3 3} \mathbf{k g m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que está sendo pedido:
  • Trabalho realizado sobre a roda: W = 1000\\ \mathrm{J}.
  • Velocidade de rotação inicial: 60\\ \mathrm{r.p.m.}.
  • Velocidade de rotação final: 180\\ \mathrm{r.p.m.}.
  • Pergunta: qual é o momento de inércia I da roda?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando se faz trabalho sobre um corpo em rotação, esse trabalho modifica sua energia cinética rotacional. A relação energia-trabalho é
W=\Delta K_{\text{rot}}=K_{\text{rot},f}-K_{\text{rot},i}.
A energia cinética rotacional de um corpo rígido é dada por
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde:
  • \;I\; é o momento de inércia (o que queremos achar), que mede “como a massa está distribuída” em relação ao eixo;
  • \;\omega\; é a velocidade angular em rad/s.
    Portanto, escrevemos
W=\tfrac{1}{2}I\bigl(\omega_{f}^{2}-\omega_{i}^{2}\bigr).
Essa fórmula é direta: o trabalho entra como variação da energia rotacional.

Passo 3

Converter as rotações por minuto (r.p.m.) para velocidade angular em rad/s:
A relação entre revoluções por segundo e velocidade angular é
\omega=2\pi\cdot(\text{rev/s}).
Converter cada valor:
  • Para 60\\ \mathrm{r.p.m.}: \;60\\ \mathrm{r.p.m.}=60/60=1\\ \mathrm{rev/s}. Portanto
\omega_{i}=2\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para 180\\ \mathrm{r.p.m.}: \;180\\ \mathrm{r.p.m.}=180/60=3\\ \mathrm{rev/s}. Portanto
\omega_{f}=2\pi\cdot 3=6\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Substituir na equação do trabalho e isolar I:
Começamos com
W=\tfrac{1}{2}I\bigl(\omega_{f}^{2}-\omega_{i}^{2}\bigr).
Substituindo \omega_{f}=6\pi e \omega_{i}=2\pi,
1000=\tfrac{1}{2}I\bigl((6\pi)^{2}-(2\pi)^{2}\bigr).
Calcule os quadrados:
(6\pi)^{2}=36\pi^{2},\qquad (2\pi)^{2}=4\pi^{2}.
Portanto a diferença é
36\pi^{2}-4\pi^{2}=32\pi^{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
1000=\tfrac{1}{2}I\cdot 32\pi^{2}=16\pi^{2}I.
Isolando I,
I=\frac{1000}{16\pi^{2}}.

Passo 5

Avaliação numérica e arredondamento (passo a passo):
Calcule \pi^{2} aproximadamente com \pi\approx 3{,}1416:
\pi^{2}\approx 9{,}8696.
Multiplicando por 16:
16\pi^{2}\approx 16\cdot 9{,}8696\approx 157{,}9136.
Agora divide-se:
I\approx\frac{1000}{157{,}9136}\approx 6{,}3326\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.
Arredondando de forma apropriada (duas casas decimais, como no gabarito), temos
I\approx 6{,}33\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.

Resposta

6{,}33\\ \mathrm{kg\,m}^{2}

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