73- Quando se executa um trabalho de 1000 J sobre uma roda de pás o valor da sua frequência aumenta de 60 r.p.m para 180 r.p.m. Qual é o valor do momento de inércia da roda?
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que está sendo pedido:
- Trabalho realizado sobre a roda:
. - Velocidade de rotação inicial:
. - Velocidade de rotação final:
. - Pergunta: qual é o momento de inércia
da roda?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando se faz trabalho sobre um corpo em rotação, esse trabalho modifica sua energia cinética rotacional. A relação energia-trabalho é
Quando se faz trabalho sobre um corpo em rotação, esse trabalho modifica sua energia cinética rotacional. A relação energia-trabalho é
A energia cinética rotacional de um corpo rígido é dada por
onde:
-
é o momento de inércia (o que queremos achar), que mede “como a massa está distribuída” em relação ao eixo; -
é a velocidade angular em rad/s.
Portanto, escrevemos
Essa fórmula é direta: o trabalho entra como variação da energia rotacional.
Passo 3
Converter as rotações por minuto (r.p.m.) para velocidade angular em rad/s:
A relação entre revoluções por segundo e velocidade angular é
A relação entre revoluções por segundo e velocidade angular é
Converter cada valor:
- Para
: . Portanto
- Para
: . Portanto
Passo 4
Substituir na equação do trabalho e isolar
:
Começamos com
Começamos com
Substituindo
e
,
Calcule os quadrados:
Portanto a diferença é
Multiplicando por
obtemos
Isolando
,
Passo 5
Avaliação numérica e arredondamento (passo a passo):
Calcule aproximadamente com
:
Calcule
Multiplicando por
:
Agora divide-se:
Arredondando de forma apropriada (duas casas decimais, como no gabarito), temos