95- A amplitude das oscilações amortecidas durante 5 minutos diminui 2 vezes. Durante quanto tempo a amplitude diminuirá 8 vezes? R: 900 s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: a amplitude das oscilações amortecidas diminui 2 vezes durante 5 minutos.
  • Informação 2: queremos saber durante quanto tempo a amplitude diminuirá 8 vezes.
Em outras palavras: dado que a amplitude se reduz a metade em 5 minutos, qual é o tempo necessário para que a amplitude fique \tfrac{1}{8} do valor inicial?

Passo 2

Modelo matemático (o que usamos e por quê). Para oscilações amortecidas a amplitude costuma decair exponencialmente com o tempo; isso significa que a amplitude A(t) no instante t pode ser escrita como
A(t)=A_0 e^{-k t},
onde:
  • A_0 é a amplitude inicial (no instante t=0);
  • k>0 é uma constante de amortecimento (medida em \text{tempo}^{-1});
  • t é o tempo contado na mesma unidade usada para k.
Explicando de modo simples: “decai exponencialmente” quer dizer que a razão entre amplitudes em dois instantes depende só da diferença de tempo entre eles, e a função exponencial é a forma matemática que descreve essa perda proporcional contínua. Não precisa decorar derivação de equações diferenciais agora — basta saber que esse modelo é o padrão para amortecimento linear.

Passo 3

Usamos a informação dada para encontrar k. A afirmação “diminui 2 vezes durante 5 minutos” significa
A(5\,\text{min})=\frac{A_0}{2}.
Substituindo no modelo:
\frac{A_0}{2}=A_0 e^{-k\cdot 5}.
Cancelando A_0 (assumimos A_0\neq 0):
\frac{1}{2}=e^{-5k}.
Agora aplicamos logaritmo natural para isolar k. Lembrando que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, temos
-5k=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2,
logo
k=\frac{\ln 2}{5}\quad\text{(unidade: 1/minuto).}
Dica rápida sobre logaritmos: \ln(a^b)=b\ln a e \ln(1/a)=-\ln a. Aqui usamos essas propriedades para simplificar.

Passo 4

Agora queremos o tempo t tal que a amplitude seja A(t)=\dfrac{A_0}{8}. Escrevendo:
\frac{A_0}{8}=A_0 e^{-k t}.
Cancelando A_0:
\frac{1}{8}=e^{-k t}.
Tomando ln em ambos os lados e lembrando que \ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=-\ln 8 e \ln 8=\ln(2^3)=3\ln 2, obtemos
-kt=\ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=-3\ln 2.
Assim
t=\frac{3\ln 2}{k}.
Substituímos k=\dfrac{\ln 2}{5} do Passo 3:
t=\frac{3\ln 2}{\ln 2/5}=3\cdot 5=15\\ \text{minutos}.

Passo 5

Conversão para segundos (pra bater com a resposta esperada): 15 minutos correspondem a
15\\ \text{min} = 15\cdot 60\\ \text{s} = 900\\ \text{s}.
Observação prática e intuitiva (jeito rápido que pode usar na prova): se a cada 5 minutos a amplitude é dividida por 2, então após 3 desses intervalos de 5 minutos a amplitude será dividida por 2^3=8. Logo 3\times 5=15 minutos \Rightarrow 900 s.

Resposta

900\\ \text{s}

Exercícios relacionados