95- A amplitude das oscilações amortecidas durante 5 minutos diminui 2 vezes. Durante quanto tempo a amplitude diminuirá 8 vezes? R:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: a amplitude das oscilações amortecidas diminui 2 vezes durante
minutos. - Informação 2: queremos saber durante quanto tempo a amplitude diminuirá 8 vezes.
Em outras palavras: dado que a amplitude se reduz a metade em
minutos, qual é o tempo necessário para que a amplitude fique
do valor inicial?
Passo 2
Modelo matemático (o que usamos e por quê). Para oscilações amortecidas a amplitude costuma decair exponencialmente com o tempo; isso significa que a amplitude
no instante
pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude inicial (no instante ); -
é uma constante de amortecimento (medida em ); -
é o tempo contado na mesma unidade usada para .
Explicando de modo simples: “decai exponencialmente” quer dizer que a razão entre amplitudes em dois instantes depende só da diferença de tempo entre eles, e a função exponencial é a forma matemática que descreve essa perda proporcional contínua. Não precisa decorar derivação de equações diferenciais agora — basta saber que esse modelo é o padrão para amortecimento linear.
Passo 3
Usamos a informação dada para encontrar
. A afirmação “diminui 2 vezes durante
minutos” significa
Substituindo no modelo:
Cancelando
(assumimos
):
Agora aplicamos logaritmo natural para isolar
. Lembrando que
, temos
logo
Dica rápida sobre logaritmos:
e
. Aqui usamos essas propriedades para simplificar.
Passo 4
Agora queremos o tempo
tal que a amplitude seja
. Escrevendo:
Cancelando
:
Tomando ln em ambos os lados e lembrando que
e
, obtemos
Assim
Substituímos
do Passo 3:
Passo 5
Conversão para segundos (pra bater com a resposta esperada):
minutos correspondem a
Observação prática e intuitiva (jeito rápido que pode usar na prova): se a cada
minutos a amplitude é dividida por
, então após
desses intervalos de
minutos a amplitude será dividida por
. Logo
minutos
s.