74- Um conjunto formado por uma roda e uma haste cilíndrica, possuindo um momento de inércia total de 0,002 \mathrm{kgm}^{2}, encontra-se suspenso de modo que a haste fique segundo a direcção horizontal. O conjunto roda devido à existência de uma massa de 0,6 \mathrm{~kg} suspensa de um fio enrolado em torno da haste. O diâmetro da haste é 4 cm e o fio não desliza sobre a periferia da haste. Se a massa partir do repouso, que distância deverá ela cair de modo a comunicar ao conjunto “roda + haste” uma frequência de 2 Hz ? \boldsymbol{R} : 0,03 \boldsymbol{m}.

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Momento de inércia total do conjunto roda+haste: I=0,002\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.
    • Massa pendurada: m=0,6\\ \mathrm{kg}.
    • Diâmetro da haste: 4\\ \mathrm{cm}. (Dado pego do enunciado.)
    • O fio não desliza na periferia da haste (isto é, rotação sem escorregamento).
    • A massa parte do repouso.
    • Frequência angular final desejada: f=2\\ \mathrm{Hz}.
    • Aceleração da gravidade: usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s}^{2} (valor padrão).
  • O que se pede:
    • A distância h que a massa deverá cair para que o conjunto roda+haste atinja f=2\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Converter frequência em velocidade angular e explicar o porquê.
  • Relação entre frequência f (em Hz) e velocidade angular \omega (em rad/s): \omega = 2\pi f,onde \omega é a velocidade angular (quantas radianos por segundo) e f é o número de voltas por segundo.
  • Para f=2\\ \mathrm{Hz}: \omega = 2\pi\cdot 2 = 4\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Relação entre velocidade linear da massa e a velocidade angular (sem deslizamento) — explicar conceito.
  • Como o fio não desliza, o ponto da haste em contato com o fio tem velocidade linear igual a v=\omega r, onde:
    • v é a velocidade linear da massa quando o fio está desenrolando,
    • \omega é a velocidade angular da haste/roda,
    • r é o raio da haste.
  • O diâmetro dado é 4\\ \mathrm{cm}, logo o raio é r=\frac{4\\ \mathrm{cm}}{2}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar conservação da energia mecânica e explicar por que podemos usá-la.
  • Assumimos que não há perdas por atrito interno importante e que o fio não escorrega, então a energia potencial gravitacional perdida pela massa transforma-se em energia cinética translacional da massa e energia cinética rotacional do conjunto roda+haste.
  • Escrevendo a conservação de energia desde o repouso até o instante em que a velocidade angular é \omega: m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2},onde:
    • h é a queda vertical da massa que queremos achar,
    • v é a velocidade linear da massa no fim da queda,
    • I é o momento de inércia do conjunto roda+haste.

Passo 5

Substituir v=\omega r na equação da energia e simplificar — explicar cada termo.
  • Substituindo v=\omega r em \tfrac{1}{2} m v^{2}: \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} m (\omega r)^{2} = \tfrac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}.
  • Então a equação de energia fica: m g h = \tfrac{1}{2} m \omega^{2} r^{2} + \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = \tfrac{1}{2}\omega^{2}\left(m r^{2} + I\right).
  • Aqui, \tfrac{1}{2} m \omega^{2} r^{2} é a energia cinética translacional da massa escrita em função de \omega, e \tfrac{1}{2} I \omega^{2} é a energia cinética rotacional do conjunto.

Passo 6

Isolar h na expressão e explicar a álgebra usada.
  • Isolando h: h = \frac{\tfrac{1}{2}\omega^{2}\left(m r^{2} + I\right)}{m g} = \frac{\omega^{2}\left(m r^{2} + I\right)}{2 m g}.
  • Esta fórmula mostra que a altura necessária cresce com \omega^{2} (ou seja, quadrado da velocidade angular) e depende da contribuição inercial do deslocamento da massa (via m r^{2}) e do momento de inércia I.

Passo 7

Calcular numericamente os termos intermediários (passo a passo, sem pular contas).
  • Raio r: r=0,02\\ \mathrm{m}.
  • r^{2}: r^{2}=(0,02)^{2}=0,0004\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Produto m r^{2}: m r^{2}=0,6\times 0,0004=0,00024\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.
  • Soma com o momento de inércia I (dado no enunciado): m r^{2}+I=0,00024+0,002=0,00224\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.

Passo 8

Calcular \omega^{2} e o numerador da expressão para h.
  • Como \omega=4\pi, então \omega^{2}=(4\pi)^{2}=16\pi^{2}\approx 157,91367\\ \mathrm{(rad/s)}^{2}.
  • Multiplicando \omega^{2} pela soma encontrada: \omega^{2}\left(m r^{2}+I\right)\approx 157,91367\times 0,00224\approx 0,35372662.
  • Explicando o cálculo: multipliquei \omega^{2} pelo número 0,00224 passo a passo (por partes: por 0,002 e por 0,00024 e somei).

Passo 9

Calcular o denominador e obter h.
  • Denominador 2 m g: 2 m g = 2\times 0,6\times 9,8 = 11,76.
  • Portanto h = \frac{0,35372662}{11,76}\approx 0,03008\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma compatível com o enunciado, obtemos h\approx 0,03\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Interpretação final e incentivo rápido.
  • Resultado pequeno: a massa precisa cair pouco mais de 3\\ \mathrm{cm} para comunicar ao conjunto a frequência de 2\\ \mathrm{Hz}. Isso faz sentido porque o momento de inércia do conjunto é relativamente grande em comparação com a contribuição m r^{2}, então a maior parte da energia vai para girar a roda+haste.

Resposta

0,03\\ \mathrm{m}

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