74- Um conjunto formado por uma roda e uma haste cilíndrica, possuindo um momento de inércia total de
, encontra-se suspenso de modo que a haste fique segundo a direcção horizontal. O conjunto roda devido à existência de uma massa de
suspensa de um fio enrolado em torno da haste. O diâmetro da haste é 4 cm e o fio não desliza sobre a periferia da haste. Se a massa partir do repouso, que distância deverá ela cair de modo a comunicar ao conjunto “roda + haste” uma frequência de 2 Hz ?
: 0,03
.
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Momento de inércia total do conjunto roda+haste:
. - Massa pendurada:
. - Diâmetro da haste:
. (Dado pego do enunciado.) - O fio não desliza na periferia da haste (isto é, rotação sem escorregamento).
- A massa parte do repouso.
- Frequência angular final desejada:
. - Aceleração da gravidade: usaremos
(valor padrão).
- Momento de inércia total do conjunto roda+haste:
- O que se pede:
- A distância
que a massa deverá cair para que o conjunto roda+haste atinja .
- A distância
Passo 2
Converter frequência em velocidade angular e explicar o porquê.
- Relação entre frequência
(em Hz) e velocidade angular (em rad/s): onde é a velocidade angular (quantas radianos por segundo) e é o número de voltas por segundo. - Para
:
Passo 3
Relação entre velocidade linear da massa e a velocidade angular (sem deslizamento) — explicar conceito.
- Como o fio não desliza, o ponto da haste em contato com o fio tem velocidade linear igual a
, onde: -
é a velocidade linear da massa quando o fio está desenrolando, -
é a velocidade angular da haste/roda, -
é o raio da haste.
-
- O diâmetro dado é
, logo o raio é
Passo 4
Aplicar conservação da energia mecânica e explicar por que podemos usá-la.
- Assumimos que não há perdas por atrito interno importante e que o fio não escorrega, então a energia potencial gravitacional perdida pela massa transforma-se em energia cinética translacional da massa e energia cinética rotacional do conjunto roda+haste.
- Escrevendo a conservação de energia desde o repouso até o instante em que a velocidade angular é
: onde: -
é a queda vertical da massa que queremos achar, -
é a velocidade linear da massa no fim da queda, -
é o momento de inércia do conjunto roda+haste.
-
Passo 5
Substituir
na equação da energia e simplificar — explicar cada termo.
- Substituindo
em : - Então a equação de energia fica:
- Aqui,
é a energia cinética translacional da massa escrita em função de , e é a energia cinética rotacional do conjunto.
Passo 6
Isolar
na expressão e explicar a álgebra usada.
- Isolando
: - Esta fórmula mostra que a altura necessária cresce com
(ou seja, quadrado da velocidade angular) e depende da contribuição inercial do deslocamento da massa (via ) e do momento de inércia .
Passo 7
Calcular numericamente os termos intermediários (passo a passo, sem pular contas).
- Raio
: -
: - Produto
: - Soma com o momento de inércia
(dado no enunciado):
Passo 8
Calcular
e o numerador da expressão para
.
- Como
, então - Multiplicando
pela soma encontrada: - Explicando o cálculo: multipliquei
pelo número passo a passo (por partes: por e por e somei).
Passo 9
Calcular o denominador e obter
.
- Denominador
: - Portanto
- Arredondando de forma compatível com o enunciado, obtemos
.
Passo 10
Interpretação final e incentivo rápido.
- Resultado pequeno: a massa precisa cair pouco mais de
para comunicar ao conjunto a frequência de . Isso faz sentido porque o momento de inércia do conjunto é relativamente grande em comparação com a contribuição , então a maior parte da energia vai para girar a roda+haste.