74 Determine os valores reais de x que satisfazem a equação:
\frac{x}{1-\frac{1}{x}}+\frac{\frac{1}{x}}{1-x}=1+x+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{x}{1 - \frac{1}{x}} \;+\;\frac{\frac{1}{x}}{1 - x} \;=\; 1 + x + \frac{1}{x}.
O conteúdo envolvido é manipulação de expressões racionais e soma de frações. Vamos primeiro determinar o domínio e depois simplificar cada termo.

Passo 2

Precisamos que os denominadores não sejam zero:
  1. x \neq 0 (aparece em várias frações).
  2. 1 - \tfrac{1}{x}\neq0, isto é x\neq1.
  3. 1 - x\neq0, também dá x\neq1.
    Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0,\;x\neq1\}.

Passo 3

Simplificamos o primeiro termo da esquerda:
\frac{x}{1 - \frac{1}{x}} =\frac{x}{\frac{x-1}{x}} =x\cdot\frac{x}{x-1} =\frac{x^2}{x-1}.

Passo 4

Simplificamos o segundo termo da esquerda:
\frac{\frac{1}{x}}{1 - x} =\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1-x} =-\frac{1}{x(x-1)}.

Passo 5

Somando os dois termos da esquerda com denominador comum x(x-1):
\frac{x^2}{x-1}-\frac{1}{x(x-1)} =\frac{x^3-1}{x(x-1)}.
Portanto a equação vira
\frac{x^3-1}{x(x-1)} =\;1 + x + \frac{1}{x}.

Passo 6

Reescrevemos o lado direito sobre o mesmo denominador x:
1 + x + \frac{1}{x} =\frac{x^2 + x + 1}{x}.

Passo 7

Igualamos as duas expressões:
\frac{x^3-1}{x(x-1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-1) (permitido no domínio), obtemos
x^3 - 1 = (x^2 + x + 1)(x-1) = x^3 - 1.
Isso mostra que a identidade se verifica para todo x permitido.

Resposta

Todos os x\in\mathbb{R} tais que x\neq0 e x\neq1.

Exercícios relacionados