74.Para o limite
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x \ln x}=\infty

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x\,\ln x}.
Aqui o conteúdo é limites no infinito e usamos comparação de funções crescentes para mostrar que a quantidade cresce sem limite.

Passo 2

Note que, para todo x>e, vale \ln x>1. Multiplicando por x>0 obtemos
x\,\ln x > x \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x\,\ln x} > \sqrt{x}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x}=\infty.
Como \sqrt{x\,\ln x} é maior que \sqrt{x} para x>e, pelo critério da comparação concluímos que
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x\,\ln x}=\infty.

Resposta

\infty

Exercícios relacionados