3- (1,0 ponto) Obtenha o valor da expressão:
\sqrt[7]{2^{4} \cdot \sqrt{55+\sqrt{\frac{3^{4}}{7} \cdot \sqrt[3]{2^{4} \cdot 16+87}}}}
a) 1
b) 3
c) 2^{\frac{4}{7}}
d) 8
e) 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\sqrt[7]{2^{4} \cdot \sqrt{55+\sqrt{\frac{3^{4}}{7} \cdot \sqrt[3]{2^{4} \cdot 16+87}}}}
em que aparecem radicais aninhados e expoentes fracionários. A ideia é simplificar de dentro para fora, usando propriedades de radicais e potências.

Passo 2

Começamos pelo radical de índice 3 no interior:
2^{4}\cdot16+87 = 16\cdot16+87 = 256+87 = 343,
portanto
\sqrt[3]{2^{4}\cdot16+87} = \sqrt[3]{343} = 7.

Passo 3

Substituindo no radical seguinte, temos
\frac{3^{4}}{7}\cdot7 = \frac{81}{7}\cdot7 = 81,
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\sqrt{\frac{3^{4}}{7}\cdot7} = \sqrt{81} = 9.

Passo 4

Agora o radical exterior fica
\sqrt{55+9} = \sqrt{64} = 8.

Passo 5

A expressão inteira reduz-se a
\sqrt[7]{2^{4}\cdot8} = \sqrt[7]{16\cdot8} = \sqrt[7]{128} = 128^{\frac{1}{7}}.
Como 128=2^{7}, segue que
128^{\frac{1}{7}} = 2.

Resposta

e) 2

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