5.74 Determine (
) a distância
tal que as reações verticais dos apoios
e
sejam iguais, (b) as reações de apoio correspondentes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar o valor de
tal que as reações verticais nos apoios e sejam iguais; - (b) determinar o valor numérico dessas reações de apoio correspondentes.
Informações relevantes extraídas da imagem (peguei estes dados da imagem enviada):
- Há uma viga simplesmente apoiada em
(esquerda) e (direita). - Entre
e um ponto de junção a uma distância de existe uma carga distribuída triangular com intensidade máxima em igual a e que decresce linearmente até zero no ponto de junção. - Entre esse ponto de junção e
a distância é (ou seja, a distância do ponto de junção até é ). - Entre o ponto de junção e
existe uma carga triangular que parte de zero no ponto de junção e cresce linearmente até em . - A viga total tem comprimento
.
O que será usado: equilíbrio estático (somatório de forças verticais e somatório de momentos) e fórmulas para a resultante de uma carga distribuída triangular e sua posição (centro de área).
Passo 2
Vamos lembrar (e explicar) como tratar uma carga triangular linear:
Considere uma carga triangular ao longo de um segmento de comprimento
cuja intensidade varia linearmente. Se a intensidade máxima é
em uma extremidade e zero na outra, então:
- A resultante (força total) dessa distribuição vale
Explicação rápida: a área do triângulo (intensidade vs posição) é base
vezes altura
dividida por 2.
- A posição da resultante medida desde a extremidade onde a intensidade é zero (isto é, do lado com intensidade nula) é
Analogamente, medida desde a extremidade onde a intensidade é máxima, a posição é
. Isso vem do cálculo do centro de massa da área triangular (pode-se derivar integrando
sobre o comprimento e dividindo por
).
Vou aplicar essas fórmulas às duas cargas triangulares do problema, tomando referência de
em
e
em
.
Passo 3
Calcular a resultante e posição da carga triangular à esquerda (entre
e o ponto de junção, comprimento
):
- Intensidade máxima em
: . - Comprimento:
. - Resultante:
- Posição da resultante medida a partir de
(como a intensidade é máxima em e vai a zero no fim):
(ou seja,
atua em
a partir de
.)
Passo 4
Calcular a resultante e posição da carga triangular à direita (entre o ponto de junção e
, comprimento
):
- Intensidade máxima em
: . - Comprimento:
. - Resultante:
- Posição da resultante medida a partir do ponto de junção (onde a intensidade é zero) é
em direção a . Portanto, medida a partir de (onde o zero está em ):
Passo 5
Escrevendo as equações de equilíbrio vertical:
- Soma das forças verticais:
.
Se quisermos, chame esse valor de . Então
Mas para encontrar
precisamos também usar o equilíbrio dos momentos. Tome momentos em relação a
: o momento causado por
e
deve ser equilibrado pelo momento causado por
(a reação em
gera momento zero em
). Ou seja,
onde
é o vão entre
e
. Como queremos
e
, substituímos:
Essa equação contém apenas uma incógnita:
(porque
foram expressos em termos de
nas etapas anteriores). Vamos montar e resolver essa equação.
Passo 6
Substituir
nas expressões:
Já temos
A equação de momento fica
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o lado esquerdo:
O lado direito:
Logo o lado direito total é
Igualando e multiplicando por 2 para eliminar a fração:
Expandindo ambos os lados:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Agora trazemos tudo para um lado:
Divida por 100 para simplificar:
Passo 7
Resolver a equação quadrática
Fórmula de Bhaskara:
Observe que
. Assim
A solução física (comprimento positiva) é a com o sinal
:
Valor numérico:
Passo 8
Agora achar as reações correspondentes. Primeiro a resultante total:
Substituindo a solução exata
:
Como
, obtemos
Valor numérico:
Passo 9
Pequena verificação numérica rápida (sanity check): com
,
total
e metade
, que coincide com o valor calculado acima. Tudo consistente.