5.74 Determine ( a ) a distância a tal que as reações verticais dos apoios A e B sejam iguais, (b) as reações de apoio correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar o valor de a tal que as reações verticais nos apoios A e B sejam iguais;
  • (b) determinar o valor numérico dessas reações de apoio correspondentes.
Informações relevantes extraídas da imagem (peguei estes dados da imagem enviada):
  • Há uma viga simplesmente apoiada em A (esquerda) e B (direita).
  • Entre A e um ponto de junção a uma distância a de A existe uma carga distribuída triangular com intensidade máxima em A igual a 1800\\ \text{N/m} e que decresce linearmente até zero no ponto de junção.
  • Entre esse ponto de junção e B a distância é 4\\ \text{m} (ou seja, a distância do ponto de junção até B é 4\\ \text{m}).
  • Entre o ponto de junção e B existe uma carga triangular que parte de zero no ponto de junção e cresce linearmente até 600\\ \text{N/m} em B.
  • A viga total tem comprimento L = a + 4.
O que será usado: equilíbrio estático (somatório de forças verticais e somatório de momentos) e fórmulas para a resultante de uma carga distribuída triangular e sua posição (centro de área).

Passo 2

Vamos lembrar (e explicar) como tratar uma carga triangular linear:
Considere uma carga triangular ao longo de um segmento de comprimento L cuja intensidade varia linearmente. Se a intensidade máxima é w_0 em uma extremidade e zero na outra, então:
  • A resultante (força total) dessa distribuição vale
R=\tfrac{1}{2}w_{0}L.
Explicação rápida: a área do triângulo (intensidade vs posição) é base L vezes altura w_0 dividida por 2.
  • A posição da resultante medida desde a extremidade onde a intensidade é zero (isto é, do lado com intensidade nula) é
\bar{x}=\tfrac{2}{3}L.
Analogamente, medida desde a extremidade onde a intensidade é máxima, a posição é \bar{x}=\tfrac{1}{3}L. Isso vem do cálculo do centro de massa da área triangular (pode-se derivar integrando x w(x) sobre o comprimento e dividindo por \int w(x)\,dx).
Vou aplicar essas fórmulas às duas cargas triangulares do problema, tomando referência de x=0 em A e x=L=a+4 em B.

Passo 3

Calcular a resultante e posição da carga triangular à esquerda (entre A e o ponto de junção, comprimento a):
  • Intensidade máxima em A: w_{1}=1800\\ \text{N/m}.
  • Comprimento: L_{1}=a.
  • Resultante:
R_{1}=\tfrac{1}{2}w_{1}L_{1}=\tfrac{1}{2}\cdot 1800\cdot a=900\,a\quad(\text{N}).
  • Posição da resultante medida a partir de A (como a intensidade é máxima em A e vai a zero no fim):
x_{1}=\tfrac{1}{3}L_{1}=\tfrac{1}{3}a.
(ou seja, R_1 atua em x=\tfrac{a}{3} a partir de A.)

Passo 4

Calcular a resultante e posição da carga triangular à direita (entre o ponto de junção e B, comprimento 4\\ \text{m}):
  • Intensidade máxima em B: w_{2}=600\\ \text{N/m}.
  • Comprimento: L_{2}=4\\ \text{m}.
  • Resultante:
R_{2}=\tfrac{1}{2}w_{2}L_{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 600\cdot 4=1200\quad(\text{N}).
  • Posição da resultante medida a partir do ponto de junção (onde a intensidade é zero) é \tfrac{2}{3}L_{2}=\tfrac{2}{3}\cdot 4=\tfrac{8}{3}\\ \text{m} em direção a B. Portanto, medida a partir de A (onde o zero está em x=0):
x_{2}=a+\tfrac{8}{3}.

Passo 5

Escrevendo as equações de equilíbrio vertical:
  • Soma das forças verticais: R_A+R_B=R_1+R_2.
    Se quisermos R_A=R_B, chame esse valor de R. Então
2R=R_1+R_2 \quad\Rightarrow\quad R=\tfrac{1}{2}(R_1+R_2).
Mas para encontrar a precisamos também usar o equilíbrio dos momentos. Tome momentos em relação a A: o momento causado por R_1 e R_2 deve ser equilibrado pelo momento causado por R_B (a reação em A gera momento zero em A). Ou seja,
R_B\cdot L = R_1 x_1 + R_2 x_2,
onde L=a+4 é o vão entre A e B. Como queremos R_B=R e R=\tfrac{1}{2}(R_1+R_2), substituímos:
\tfrac{1}{2}(R_1+R_2)\cdot (a+4) = R_1 x_1 + R_2 x_2.
Essa equação contém apenas uma incógnita: a (porque R_1,R_2,x_1,x_2 foram expressos em termos de a nas etapas anteriores). Vamos montar e resolver essa equação.

Passo 6

Substituir R_1,R_2,x_1,x_2 nas expressões:
Já temos
R_1=900a,\qquad x_1=\tfrac{a}{3},\qquad R_2=1200,\qquad x_2=a+\tfrac{8}{3},\qquad L=a+4.
A equação de momento fica
\tfrac{1}{2}(900a+1200)(a+4)=900a\cdot \tfrac{a}{3}+1200\left(a+\tfrac{8}{3}\right).
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o lado esquerdo:
\tfrac{1}{2}(900a+1200)(a+4)=\tfrac{1}{2}\bigl(900a+1200\bigr)(a+4).
O lado direito:
900a\cdot \tfrac{a}{3}=300a^{2},
1200\left(a+\tfrac{8}{3}\right)=1200a+1200\cdot\tfrac{8}{3}=1200a+3200.
Logo o lado direito total é
300a^{2}+1200a+3200.
Igualando e multiplicando por 2 para eliminar a fração:
(900a+1200)(a+4)=2\bigl(300a^{2}+1200a+3200\bigr).
Expandindo ambos os lados:
  • Lado esquerdo:
(900a+1200)(a+4)=900a^{2}+3600a+1200a+4800=900a^{2}+4800a+4800.
  • Lado direito:
2(300a^{2}+1200a+3200)=600a^{2}+2400a+6400.
Agora trazemos tudo para um lado:
0=900a^{2}+4800a+4800-(600a^{2}+2400a+6400).
0=300a^{2}+2400a-1600.
Divida por 100 para simplificar:
0=3a^{2}+24a-16.

Passo 7

Resolver a equação quadrática
3a^{2}+24a-16=0.
Fórmula de Bhaskara:
a=\frac{-24\pm\sqrt{24^{2}-4\cdot 3\cdot(-16)}}{2\cdot 3} =\frac{-24\pm\sqrt{576+192}}{6} =\frac{-24\pm\sqrt{768}}{6}.
Observe que \sqrt{768}=\sqrt{256\cdot 3}=16\sqrt{3}. Assim
a=\frac{-24\pm 16\sqrt{3}}{6}=\frac{-12\pm 8\sqrt{3}}{3}.
A solução física (comprimento positiva) é a com o sinal +:
a=\frac{8\sqrt{3}-12}{3}\\ \text{m}.
Valor numérico:
a\approx 0{,}6188\\ \text{m}.

Passo 8

Agora achar as reações correspondentes. Primeiro a resultante total:
R_{\text{tot}}=R_1+R_2=900a+1200.
Substituindo a solução exata a=\dfrac{8\sqrt{3}-12}{3}:
R_{\text{tot}}=900\cdot\frac{8\sqrt{3}-12}{3}+1200 =300(8\sqrt{3}-12)+1200 =2400\sqrt{3}-3600+1200 =2400(\sqrt{3}-1).
Como R_A=R_B=\tfrac{1}{2}R_{\text{tot}}, obtemos
R_A=R_B=1200(\sqrt{3}-1)\\ \text{N}.
Valor numérico:
R_A=R_B\approx 878{,}46\\ \text{N}.

Passo 9

Pequena verificação numérica rápida (sanity check): com a\approx0{,}6188\\ \text{m},
R_1=900a\approx 900\cdot0{,}6188\approx 556{,}9\\ \text{N},\qquad R_2=1200\\ \text{N},
total R_{\text{tot}}\approx 1756{,}9\\ \text{N} e metade \approx 878{,}45\\ \text{N}, que coincide com o valor calculado acima. Tudo consistente.

Resposta

a=\dfrac{8\sqrt{3}-12}{3}\\ \text{m}\approx 0{,}6188\\ \text{m}
R_A=R_B=1200(\sqrt{3}-1)\\ \text{N}\approx 878{,}46\\ \text{N}

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