75 A função inversa de
é dada por
.
Passo 1
O enunciado informa que a função inversa de
é
O que o problema pede (implícito): encontrar a função
(a inversa de
) e, se for natural, identificar domínio e imagem (intervalo) de
. Vamos listar os dados relevantes:
- Foi dada a expressão de
válida para os onde o logaritmo está definido. - A expressão envolve logaritmo natural e razão
. - Não há figura nem outras informações; tudo necessário está na expressão acima.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicação didática): se uma função
tem inversa
, então trocar
por
e vice-versa na relação
nos dá uma equação que relaciona
e
pela definição da inversa. Em outras palavras, para obter
a partir de
fazemos:
- escrever
, - trocar
por e por , obtendo , - resolver essa equação para
, que será .
Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Começo escrevendo a relação dada e, para facilitar a resolução, chamo
do lado esquerdo:
Agora troco
e
(procedimento padrão para recuperar a função original):
Agora a meta é isolar
em função de
.
Passo 4
Para isolar
, primeiro “desfaço” o logaritmo aplicando a exponenciação com base
(porque
anula
):
Explicando: se
então
. Aqui
.
Passo 5
Agora resolvo a equação racional para
. Parto de
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuo no lado esquerdo:
Agora junto os termos que contêm
no mesmo lado (colocando todos os termos com
à direita):
Fatora-se
no lado direito:
Finalmente, isolando
,
Passo 6
Interpretação do resultado: chegamos a
Outra forma equivalente, que às vezes aparece em livros, é
porque multiplicando numerador e denominador por
obtemos essa forma. Ambas representam a mesma função (a famosa função logística).
Passo 7
Agora explico domínio e imagem (intervalo) de
, passo a passo e sem pular etapas.
Domínio:
- A expressão
está bem definida para todo porque para todo real e . Logo o domínio de é (todos os números reais).
Imagem (valor que
assume):
- Note que
sempre, então o quociente é sempre positivo. - Para ver os extremos, calcule limites:
porque quando . porque para grande domina e a fração tende a . - A função é contínua e estritamente crescente (posso justificar com derivada:
para todo ). Assim, assume todos os valores entre os limites extremos, mas sem atingir nem (são apenas limites). - Portanto a imagem (intervalo) de
é .
Passo 8
Verificação rápida (checagem de consistência): compor
com
deve devolver
. Substituindo
em
(i.e., calcular
):
No numerador fica
. No denominador
. Portanto a razão interna do
é
e
. Isso confirma que nossa
está correta como inversa de
.