75 A função inversa de g(x) é dada por g^{-1}(x)=\ln \left(\frac{x}{1-x}\right).

Passo 1

O enunciado informa que a função inversa de g é
g^{-1}(x)=\ln\!\left(\frac{x}{1-x}\right).
O que o problema pede (implícito): encontrar a função g(x) (a inversa de g^{-1}) e, se for natural, identificar domínio e imagem (intervalo) de g. Vamos listar os dados relevantes:
  • Foi dada a expressão de g^{-1}(x) válida para os x onde o logaritmo está definido.
  • A expressão envolve logaritmo natural e razão \dfrac{x}{1-x}.
  • Não há figura nem outras informações; tudo necessário está na expressão acima.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática): se uma função f tem inversa f^{-1}, então trocar x por y e vice-versa na relação y=f^{-1}(x) nos dá uma equação que relaciona x e y pela definição da inversa. Em outras palavras, para obter g a partir de g^{-1} fazemos:
  • escrever y=g^{-1}(x),
  • trocar x por y e y por x, obtendo x=g^{-1}(y),
  • resolver essa equação para y, que será g(x).
Vou aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Começo escrevendo a relação dada e, para facilitar a resolução, chamo y do lado esquerdo:
y = g^{-1}(x) = \ln\!\left(\frac{x}{1-x}\right).
Agora troco x e y (procedimento padrão para recuperar a função original):
x = \ln\!\left(\frac{y}{1-y}\right).
Agora a meta é isolar y em função de x.

Passo 4

Para isolar y, primeiro “desfaço” o logaritmo aplicando a exponenciação com base e (porque e^{\ln(\cdot)} anula \ln):
e^{x} = \frac{y}{1-y}.
Explicando: se x=\ln(A) então e^{x}=A. Aqui A=\dfrac{y}{1-y}.

Passo 5

Agora resolvo a equação racional para y. Parto de
e^{x} = \frac{y}{1-y}.
Multiplico ambos os lados por 1-y para eliminar o denominador:
e^{x}(1-y) = y.
Distribuo no lado esquerdo:
e^{x} - e^{x}y = y.
Agora junto os termos que contêm y no mesmo lado (colocando todos os termos com y à direita):
e^{x} = y + e^{x}y.
Fatora-se y no lado direito:
e^{x} = y(1 + e^{x}).
Finalmente, isolando y,
y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}.

Passo 6

Interpretação do resultado: chegamos a
g(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Outra forma equivalente, que às vezes aparece em livros, é
g(x)=\frac{1}{1+e^{-x}},
porque multiplicando numerador e denominador por e^{-x} obtemos essa forma. Ambas representam a mesma função (a famosa função logística).

Passo 7

Agora explico domínio e imagem (intervalo) de g, passo a passo e sem pular etapas.
Domínio:
  • A expressão \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque e^{x}>0 para todo real x e 1+e^{x}>0. Logo o domínio de g é \mathbb{R} (todos os números reais).
Imagem (valor que g assume):
  • Note que e^{x}>0 sempre, então o quociente é sempre positivo.
  • Para ver os extremos, calcule limites: \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} = 0,porque e^{x}\to 0 quando x\to -\infty. \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} = 1,porque para x grande e^{x} domina e a fração tende a 1.
  • A função é contínua e estritamente crescente (posso justificar com derivada: g'(x)=\dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}>0 para todo x). Assim, g assume todos os valores entre os limites extremos, mas sem atingir 0 nem 1 (são apenas limites).
  • Portanto a imagem (intervalo) de g é (0,1).

Passo 8

Verificação rápida (checagem de consistência): compor g com g^{-1} deve devolver x. Substituindo g(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}} em g^{-1} (i.e., calcular g^{-1}(g(x))):
g^{-1}\!\Big(\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\Big) = \ln\!\left(\frac{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{1-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}\right).
No numerador fica \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}. No denominador 1-\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}=\dfrac{1+e^{x}-e^{x}}{1+e^{x}}=\dfrac{1}{1+e^{x}}. Portanto a razão interna do \ln é
\frac{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{\frac{1}{1+e^{x}}}=e^{x},
e \ln(e^{x})=x. Isso confirma que nossa g está correta como inversa de g^{-1}.

Resposta

g(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}=\dfrac{1}{1+e^{-x}}
\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}
\mathrm{Im}(g)=(0,1)

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