( 1,75 pontos) A recalibragem do processo de resfriamento de uma câmara compressora é muito caro e deve ser feito quando estritamente necessário. Um engenheiro com o objetivo de verificar se de fato é necessária uma recalibração da câmara, necessita estimar a temperatura média da água (denotada por
). De informações prévias ele sabe que a temperatura da água é normalmente distribuída com desvio padrão de
.
a. ( 0,75 ponto) Se o objetivo é estimar
utilizando um intervalo de confiança com margem de erro de
e coeficiente de confiança de
, determine qual o tamanho amostral necessário?
b. ( 1,00 ponto) O engenheiro ao final decidiu coletar uma amostra de tamanho 25 . Se a média amostral obtida foi de
, construa um intervalo de confiança para
com
de confiança e interprete o intervalo obtido em termos do problema.
a. ( 0,75 ponto) Se o objetivo é estimar
b. ( 1,00 ponto) O engenheiro ao final decidiu coletar uma amostra de tamanho 25 . Se a média amostral obtida foi de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o tamanho amostral necessário para estimar a média
com margem de erro de e coeficiente de confiança de , sabendo que o desvio padrão populacional é . - (b) Com uma amostra de tamanho
cuja média amostral foi , construir um intervalo de confiança para com de confiança e interpretar o resultado.
Informações relevantes dadas:
Para (b):
e
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (caso de desvio padrão populacional conhecido):
Um intervalo de confiança para a média populacional , quando
é conhecida, tem a forma
Um intervalo de confiança para a média populacional
onde:
-
é a média amostral; -
é o desvio padrão da população (conhecido aqui); -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é ; -
.
A margem de erro
é
Explicando intuitivamente:
mede quantos desvios-padrão da média amostral precisamos para cobrir a probabilidade desejada;
é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
Passo 3
Calcular
para
de confiança.
O nível de confiança é , então
O nível de confiança é
Procuramos
, que é o quantil tal que
ou
. Pelo quadro da normal padrão ou calculadora:
Passo 4
Parte (a): determinar
a partir da fórmula da margem de erro. Isolando
:
Substituindo
,
e
:
Agora:
Como
deve ser um inteiro e queremos garantir que a margem de erro seja, no máximo,
, arredondamos para cima:
Passo 5
Comentário sobre arredondamento: sempre arredondamos para cima quando calculamos tamanho amostral a partir da fórmula de margem de erro, porque um
arredondado para baixo poderia resultar numa margem de erro maior que a desejada.
Passo 6
Parte (b): construir o intervalo de confiança de
com
e
.
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
Margem de erro para
:
Construindo o intervalo:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) para apresentação:
Passo 7
Interpretação do intervalo (linguagem amigável): dizer que estamos
confiantes de que o valor verdadeiro da temperatura média da água
está entre aproximadamente
e
. Em termos práticos: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma para cada amostra, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro
. Para este intervalo específico, podemos dizer que ele é uma estimativa confiável (com
de confiança) do local onde
está.
Resposta
a)
b) Intervalo de confiança de
: