( 1,75 pontos) A recalibragem do processo de resfriamento de uma câmara compressora é muito caro e deve ser feito quando estritamente necessário. Um engenheiro com o objetivo de verificar se de fato é necessária uma recalibração da câmara, necessita estimar a temperatura média da água (denotada por \mu ). De informações prévias ele sabe que a temperatura da água é normalmente distribuída com desvio padrão de 4^{\circ} \mathrm{C}.
a. ( 0,75 ponto) Se o objetivo é estimar \mu utilizando um intervalo de confiança com margem de erro de 2^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de confiança de 96 \%, determine qual o tamanho amostral necessário?
b. ( 1,00 ponto) O engenheiro ao final decidiu coletar uma amostra de tamanho 25 . Se a média amostral obtida foi de 5,6^{\circ} \mathrm{C}, construa um intervalo de confiança para \mu com 96 \% de confiança e interprete o intervalo obtido em termos do problema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o tamanho amostral necessário para estimar a média \mu com margem de erro de 2^\circ\mathrm{C} e coeficiente de confiança de 96\%, sabendo que o desvio padrão populacional é \sigma=4^\circ\mathrm{C}.
  2. (b) Com uma amostra de tamanho 25 cuja média amostral foi \bar x = 5,6^\circ\mathrm{C}, construir um intervalo de confiança para \mu com 96\% de confiança e interpretar o resultado.
Informações relevantes dadas:
\sigma = 4^\circ\mathrm{C},\quad \text{margem de erro desejada } E = 2^\circ\mathrm{C},\quad \text{confiança } = 96\%.ç
Para (b): n=25 e \bar x = 5,6^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (caso de desvio padrão populacional conhecido):
Um intervalo de confiança para a média populacional \mu, quando \sigma é conhecida, tem a forma
\bar x \pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar x é a média amostral;
  • \sigma é o desvio padrão da população (conhecido aqui);
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2;
  • \alpha = 1-\text{nível de confiança}íç.
A margem de erro E é
E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando intuitivamente: z_{\alpha/2} mede quantos desvios-padrão da média amostral precisamos para cobrir a probabilidade desejada; \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).

Passo 3

Calcular z_{\alpha/2} para 96\% de confiança.
O nível de confiança é 96\%, então
\alpha = 1-0{,}96 = 0{,}04,\quad \alpha/2 = 0{,}02.
Procuramos z_{\alpha/2}=z_{0{,}02}, que é o quantil tal que P(Z>z_{0{,}02})=0{,}02 ou P(Z\le z_{0{,}02})=0{,}98. Pelo quadro da normal padrão ou calculadora:
z_{0{,}02}\approx 2{,}05375.

Passo 4

Parte (a): determinar n a partir da fórmula da margem de erro. Isolando n:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Substituindo z_{\alpha/2}\approx 2{,}05375, \sigma=4 e E=2:
\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}=\frac{2{,}05375\cdot 4}{2}=2{,}05375\cdot 2 = 4{,}1075.
Agora:
n = (4{,}1075)^2 = 16{,}8826\ldots
Como n deve ser um inteiro e queremos garantir que a margem de erro seja, no máximo, 2^\circ\mathrm{C}, arredondamos para cima:
n=17.

Passo 5

Comentário sobre arredondamento: sempre arredondamos para cima quando calculamos tamanho amostral a partir da fórmula de margem de erro, porque um n arredondado para baixo poderia resultar numa margem de erro maior que a desejada.

Passo 6

Parte (b): construir o intervalo de confiança de 96\% com n=25 e \bar x=5{,}6^\circ\mathrm{C}.
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0{,}8.ã
Margem de erro para 96\%:
\text{ME} = z_{\alpha/2}\cdot\text{erro padrão} = 2{,}05375\cdot 0{,}8 = 1{,}643.ã
Construindo o intervalo:
\text{limite inferior} = \bar x - \text{ME} = 5{,}6 - 1{,}643 = 3{,}957,
\text{limite superior} = \bar x + \text{ME} = 5{,}6 + 1{,}643 = 7{,}243.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) para apresentação:
\text{intervalo de }96\%\text{ para }\mu \approx (3{,}96^\circ\mathrm{C},\;7{,}24^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Interpretação do intervalo (linguagem amigável): dizer que estamos 96\% confiantes de que o valor verdadeiro da temperatura média da água \mu está entre aproximadamente 3{,}96^\circ\mathrm{C} e 7{,}24^\circ\mathrm{C}. Em termos práticos: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma para cada amostra, cerca de 96\% desses intervalos conteriam o verdadeiro \mu. Para este intervalo específico, podemos dizer que ele é uma estimativa confiável (com 96\% de confiança) do local onde \mu está.

Resposta

a) n = 17
b) Intervalo de confiança de 96\%: (3{,}96^\circ\mathrm{C},\;7{,}24^\circ\mathrm{C})

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