( 2,5 pontos) Um engenheiro está desenvolvendo um compósito de matriz metálica para aplicações aeroespaciais. Após diversos testes, ele concluiu que a resistência à tração desse compósito tem distribuição normal com média de 650 MPa e desvio padrão de 20 MPa
a. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova deste compósito, qual a probabilidade da resistência à tração dele ser superior a 620 Mpa?
Caso não tenha conseguido fazer o item a), atribua um valor qualquer para a resposta do item mencionado e faça os itens seguintes utilizando esse valor. Considere para os 2 itens a seguir que há em um depósito há 12 corpos de prova do novo compósito e 8 corpos de prova de um compósito denominado XYZ. Considere ainda que o compósito XYZ tem probabilidade de 0,6 de ter resistência a tração superior a 620 Mpa .
b. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova de compósito neste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência à tração inferior a 620 Mpa e ser um corpo de prova do novo compósito?
c. ( 1,00 ponto) Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova de compósito neste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência à tração superior a 620 Mpa ?
a. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova deste compósito, qual a probabilidade da resistência à tração dele ser superior a 620 Mpa?
b. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova de compósito neste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência à tração inferior a 620 Mpa e ser um corpo de prova do novo compósito?
c. ( 1,00 ponto) Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova de compósito neste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência à tração superior a 620 Mpa ?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
- A resistência à tração do novo compósito (vamos chamar de “novo”) segue uma distribuição normal com média
MPa e desvio padrão MPa. - No depósito há
corpos de prova do compósito novo e corpos de prova do compósito XYZ (total corpos). - Para o compósito XYZ foi dado que a probabilidade de ter resistência superior a
MPa é .
Perguntas:
a. Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova do compósito novo, qual a probabilidade da resistência ser superior a MPa?
b. Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova deste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência inferior a MPa e ser do compósito novo?
c. Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova deste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência superior a MPa?
a. Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova do compósito novo, qual a probabilidade da resistência ser superior a
b. Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova deste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência inferior a
c. Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova deste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência superior a
Passo 2
Resolvendo o item (a). Primeiro vou explicar o procedimento geral (padrão) para probabilidades com distribuição normal:
- Denotamos a resistência por uma variável aleatória
com . Aqui é a média (valor esperado) e é o desvio padrão (medida de dispersão). - Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização (transformar numa normal padrão). A normal padrão é a variável com , ou seja, média e desvio padrão . - A fórmula de padronização é:
Isso converte um valor de
em um valor de
que podemos olhar na tabela da normal padrão.
Passo 3
Aplicando a padronização ao nosso caso. Queremos
Com
a padronização dá
Para o ponto
temos
Assim
Passo 4
Usando propriedades da normal padrão: a distribuição é simétrica em torno de
. Então
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão (a probabilidade de
ser menor ou igual a um valor). Consultando tabela ou valor conhecido, temos
Portanto a resposta do item (a) é aproximadamente
. (Significa que cerca de
dos corpos do novo compósito têm resistência acima de
MPa.)
Passo 5
Resolvendo o item (b). Vou explicar a ideia de probabilidade conjunta e regra do produto: se queremos a probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente (por exemplo, “é novo” e “resistência < 620”), usamos
Aqui
é a probabilidade de selecionar um corpo do compósito novo no depósito;
é uma probabilidade condicional (dada a seleção do tipo novo).
Passo 6
Calculemos as quantidades numéricas:
- Probabilidade de escolher um corpo do compósito novo no depósito:
- Da parte (a) encontramos
. Logo
Agora aplicamos a regra do produto:
Arredondando de forma razoável,
. Ou seja, cerca de
.
Passo 7
Resolvendo o item (c). Aqui usamos a lei da probabilidade total: a probabilidade de selecionar um corpo com resistência superior a
MPa vem das duas possibilidades (ser novo ou ser XYZ). Assim
Sabemos
e
. Temos
(do item a) e
(dado).
Passo 8
Fazendo as contas:
Calculemos cada termo:
Somando:
Ou seja, cerca de
(arredondando,
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)