( 2,5 pontos) Um engenheiro está desenvolvendo um compósito de matriz metálica para aplicações aeroespaciais. Após diversos testes, ele concluiu que a resistência à tração desse compósito tem distribuição normal com média de 650 MPa e desvio padrão de 20 MPa
a. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova deste compósito, qual a probabilidade da resistência à tração dele ser superior a 620 Mpa?
Caso não tenha conseguido fazer o item a), atribua um valor qualquer para a resposta do item mencionado e faça os itens seguintes utilizando esse valor. Considere para os 2 itens a seguir que há em um depósito há 12 corpos de prova do novo compósito e 8 corpos de prova de um compósito denominado XYZ. Considere ainda que o compósito XYZ tem probabilidade de 0,6 de ter resistência a tração superior a 620 Mpa .
b. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova de compósito neste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência à tração inferior a 620 Mpa e ser um corpo de prova do novo compósito?
c. ( 1,00 ponto) Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova de compósito neste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência à tração superior a 620 Mpa ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
  • A resistência à tração do novo compósito (vamos chamar de “novo”) segue uma distribuição normal com média \mu=650 MPa e desvio padrão \sigma=20 MPa.
  • No depósito há 12 corpos de prova do compósito novo e 8 corpos de prova do compósito XYZ (total 20 corpos).
  • Para o compósito XYZ foi dado que a probabilidade de ter resistência superior a 620 MPa é 0,6.
Perguntas:
a. Se selecionarmos ao acaso um corpo de prova do compósito novo, qual a probabilidade da resistência ser superior a 620 MPa?
b. Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova deste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência inferior a 620 MPa e ser do compósito novo?
c. Se selecionarmos aleatoriamente um corpo de prova deste depósito, qual a probabilidade dele ter resistência superior a 620 MPa?

Passo 2

Resolvendo o item (a). Primeiro vou explicar o procedimento geral (padrão) para probabilidades com distribuição normal:
  • Denotamos a resistência por uma variável aleatória X com X\sim N(\mu,\sigma). Aqui \mu é a média (valor esperado) e \sigma é o desvio padrão (medida de dispersão).
  • Para calcular probabilidades do tipo P(X>a) usamos a padronização (transformar X numa normal padrão). A normal padrão é a variável Z com Z\sim N(0,1), ou seja, média 0 e desvio padrão 1.
  • A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso converte um valor de X em um valor de Z que podemos olhar na tabela da normal padrão.

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso caso. Queremos
P(X>620).
Com X\sim N(650,20) a padronização dá
Z=\frac{X-650}{20}.
Para o ponto 620 temos
z=\frac{620-650}{20}=\frac{-30}{20}=-1,5.
Assim
P(X>620)=P\!\left(Z>-1,5\right).

Passo 4

Usando propriedades da normal padrão: a distribuição é simétrica em torno de 0. Então
P\!\left(Z>-1,5\right)=P\!\left(Z<1,5\right)=\Phi(1,5),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão (a probabilidade de Z ser menor ou igual a um valor). Consultando tabela ou valor conhecido, temos
\Phi(1,5)\approx 0,9332.
Portanto a resposta do item (a) é aproximadamente 0,9332. (Significa que cerca de 93{,}32\% dos corpos do novo compósito têm resistência acima de 620 MPa.)

Passo 5

Resolvendo o item (b). Vou explicar a ideia de probabilidade conjunta e regra do produto: se queremos a probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente (por exemplo, “é novo” e “resistência < 620”), usamos
P(\text{novo e resistência}<620)=P(\text{novo})\cdot P(\text{resistência}<620 \mid \text{novo}).êê
Aqui P(\text{novo}) é a probabilidade de selecionar um corpo do compósito novo no depósito; P(\cdot\mid\text{novo}) é uma probabilidade condicional (dada a seleção do tipo novo).

Passo 6

Calculemos as quantidades numéricas:
  • Probabilidade de escolher um corpo do compósito novo no depósito:
P(\text{novo})=\frac{12}{20}=0,6.
  • Da parte (a) encontramos P(\text{resistência}>620 \mid \text{novo})\approx 0,9332ê. Logo
P(\text{resistência}<620 \mid \text{novo})=1-0,9332=0,0668.ê
Agora aplicamos a regra do produto:
P(\text{novo e resistência}<620)=0,6\times 0,0668=0,04008.ê
Arredondando de forma razoável, 0,04008\approx 0,0401. Ou seja, cerca de 4{,}01\%.

Passo 7

Resolvendo o item (c). Aqui usamos a lei da probabilidade total: a probabilidade de selecionar um corpo com resistência superior a 620 MPa vem das duas possibilidades (ser novo ou ser XYZ). Assim
P(\text{resistência}>620)=P(\text{novo})\cdot P(>620\mid\text{novo})+P(\text{XYZ})\cdot P(>620\mid\text{XYZ}).ê
Sabemos P(\text{novo})=0,6 e P(\text{XYZ})=\frac{8}{20}=0,4. Temos P(>620\mid\text{novo})\approx 0,9332 (do item a) e P(>620\mid\text{XYZ})=0,6 (dado).

Passo 8

Fazendo as contas:
P(>620)=0,6\times 0,9332+0,4\times 0,6.
Calculemos cada termo:
0,6\times 0,9332=0,55992,
0,4\times 0,6=0,24.
Somando:
P(>620)=0,55992+0,24=0,79992\approx 0,7999.
Ou seja, cerca de 79{,}99\% (arredondando, 0,80).

Resposta

(a) 0,9332
(b) 0,0401
(c) 0,7999

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