(1.75p) Obter um ponto, no eixo de ordenadas, que seja equidistante à origem e ao ponto ( 3,-5 ).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um ponto no eixo das ordenadas (eixo y) que seja equidistante da origem e do ponto (3,-5).\n
Informações dadas:
A origem tem coordenadas (0,0).
O outro ponto é (3,-5).
O ponto procurado está no eixo y, portanto tem coordenadas da forma (0,y), onde y é um número real desconhecido.
A condição é: a distância entre (0,y) e (0,0) é igual à distância entre (0,y) e (3,-5).
Passo 2
Lembrando a fórmula da distância entre dois pontos no plano: para pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2),
\text{distância}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Explicando as letras: x_1,y_1,x_2,y_2 são as coordenadas dos pontos; subtrai-se as abscissas, eleva ao quadrado, soma ao quadrado da diferença das ordenadas e tira a raiz quadrada. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas projeções horizontais e verticais.
Exemplo rápido para fixar: distância entre (0,0) e (3,4) é \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso. Seja o ponto procurado (0,y).
Distância de (0,y) à origem (0,0):
d_1=\sqrt{(0-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{y^2}=|y|.
Comentário didático: ao simplificar \sqrt{y^2} obtemos |y|, que é a distância (sempre não-negativa).
Distância de (0,y) ao ponto (3,-5):
d_2=\sqrt{(3-0)^2+(-5-y)^2}=\sqrt{9+(y+5)^2}.
Note que (-5-y)^2=(y+5)^2, pois o quadrado elimina o sinal.
Passo 4
A condição de equidistância é d_1=d_2. Ou seja,
|y|=\sqrt{9+(y+5)^2}.
Ambos os lados são \ge0, então podemos elevar ao quadrado sem criar soluções extranhas:
y^2=9+(y+5)^2.
Agora desenvolve o quadrado à direita:
y^2=9+\bigl(y^2+10y+25\bigr).
Simplifica somando os termos do lado direito:
y^2= y^2+10y+34.
Passo 5
Elimina y^2 dos dois lados (eles se cancelam), ficando uma equação linear: