(1.75p) Obter um ponto, no eixo de ordenadas, que seja equidistante à origem e ao ponto ( 3,-5 ).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um ponto no eixo das ordenadas (eixo y) que seja equidistante da origem e do ponto (3,-5).\n
Informações dadas:
  • A origem tem coordenadas (0,0).
  • O outro ponto é (3,-5).
  • O ponto procurado está no eixo y, portanto tem coordenadas da forma (0,y), onde y é um número real desconhecido.
  • A condição é: a distância entre (0,y) e (0,0) é igual à distância entre (0,y) e (3,-5).

Passo 2

Lembrando a fórmula da distância entre dois pontos no plano: para pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2),
\text{distância}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.â
Explicando as letras: x_1,y_1,x_2,y_2 são as coordenadas dos pontos; subtrai-se as abscissas, eleva ao quadrado, soma ao quadrado da diferença das ordenadas e tira a raiz quadrada. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas projeções horizontais e verticais.
Exemplo rápido para fixar: distância entre (0,0) e (3,4) é \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso. Seja o ponto procurado (0,y).
Distância de (0,y) à origem (0,0):
d_1=\sqrt{(0-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{y^2}=|y|.
Comentário didático: ao simplificar \sqrt{y^2} obtemos |y|, que é a distância (sempre não-negativa).
Distância de (0,y) ao ponto (3,-5):
d_2=\sqrt{(3-0)^2+(-5-y)^2}=\sqrt{9+(y+5)^2}.
Note que (-5-y)^2=(y+5)^2, pois o quadrado elimina o sinal.

Passo 4

A condição de equidistância é d_1=d_2. Ou seja,
|y|=\sqrt{9+(y+5)^2}.
Ambos os lados são \ge0, então podemos elevar ao quadrado sem criar soluções extranhas:
y^2=9+(y+5)^2.
Agora desenvolve o quadrado à direita:
y^2=9+\bigl(y^2+10y+25\bigr).
Simplifica somando os termos do lado direito:
y^2= y^2+10y+34.

Passo 5

Elimina y^2 dos dois lados (eles se cancelam), ficando uma equação linear:
0=10y+34.
Resolve para y:
10y=-34\quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{34}{10}=-\dfrac{17}{5}.

Passo 6

Verificação rápida para ter confiança no resultado:
Calcular d_1=|y|= \left|-\dfrac{17}{5}\right|=\dfrac{17}{5}.
Calcular d_2=\sqrt{9+(y+5)^2}. Primeiro y+5=-\dfrac{17}{5}+5=-\dfrac{17}{5}+\dfrac{25}{5}=\dfrac{8}{5}. Então
d_2=\sqrt{9+\left(\dfrac{8}{5}\right)^2}=\sqrt{9+\dfrac{64}{25}}=\sqrt{\dfrac{225}{25}+\dfrac{64}{25}}=\sqrt{\dfrac{289}{25}}=\dfrac{17}{5}.
Como d_1=d_2=\dfrac{17}{5}, a solução está verificada.

Passo 7

Conclusão: o único ponto no eixo y que satisfaz a condição é (0,-\tfrac{17}{5}). É única porque a equação resultou em um único valor para y.

Resposta

(0,-\tfrac{17}{5})

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