(1.50p) Use o método de Gauss para obter as soluções (no caso de existir) do sistema de equações lineares a seguir
\begin{aligned} & x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=11 \\\ & 4 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\\ & 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=10 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para resolver usando o método de Gauss:
\begin{aligned} & x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=11\\\ & 4 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4\\\ & 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=10 \end{aligned}
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três equações e três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Deve-se usar o método de eliminação (Gauss) para encontrar as soluções, caso existam.

Passo 2

Vamos transformar o sistema na sua matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das incógnitas e os termos independentes numa única tabela, deixando claro quais operações aplicar:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 4 & 1 & -1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 10 \end{array}\right]
Mini-aula rápida sobre a técnica que vamos usar:
  • Operações elementares de linha são permitidas e preservam o conjunto de soluções. São três tipos: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (iii) somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • O objetivo da eliminação de Gauss é usar essas operações para obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal). Aí fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas.
  • Em cada coluna, o primeiro elemento não nulo que usamos para zerificar abaixo é chamado de pivô.
Aqui o pivô inicial é o elemento \,1 da primeira linha, primeira coluna. Usamos-o para zerar as entradas abaixo na mesma coluna.
Aplicamos as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculemos entrada a entrada para ficar bem claro:
  • Para R_2:
4-4\cdot1=0,\quad 1-4\cdot(-2)=1+8=9,\quad -1-4\cdot3=-1-12=-13,\quad 4-4\cdot11=4-44=-40.
  • Para R_3:
2-2\cdot1=0,\quad -1-2\cdot(-2)=-1+4=3,\quad 3-2\cdot3=3-6=-3,\quad 10-2\cdot11=10-22=-12.
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 0 & 9 & -13 & -40\\[4pt] 0 & 3 & -3 & -12 \end{array}\right]]

Passo 3

Agora escolhemos o pivô na segunda linha, segunda coluna: \,9. Vamos zerar a entrada abaixo dele (linha 3, coluna 2). A operação é:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{9}R_2 = R_3 - \frac{1}{3}R_2.
Calculemos cada componente de R_3:
0 - \tfrac{1}{3}\cdot 0 = 0,
3 - \tfrac{1}{3}\cdot 9 = 3-3 = 0,
-3 - \tfrac{1}{3}\cdot(-13) = -3 + \tfrac{13}{3} = \tfrac{-9+13}{3} = \tfrac{4}{3},
-12 - \tfrac{1}{3}\cdot(-40) = -12 + \tfrac{40}{3} = \tfrac{-36+40}{3} = \tfrac{4}{3}.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 0 & 9 & -13 & -40\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{4}{3} \end{array}\right]]

Passo 4

Agora temos uma equação só com x_3 na terceira linha. Para simplificar a leitura e a substituição, vamos tornar o coeficiente de x_3 igual a 1 multiplicando a terceira linha por \tfrac{3}{4}:
R_3 \leftarrow \tfrac{3}{4} R_3.
Isso dá
0,\quad 0,\quad 1,\quad 1,
logo a terceira linha passa a representar \,x_3 = 1. A matriz é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 0 & 9 & -13 & -40\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Mini-explicação sobre substituição regressiva:
  • Com a matriz triangular superior obtida, lemos a última equação para achar x_3, depois substituímos esse valor na equação acima para achar x_2, e assim por diante até x_1.]

Passo 5

Fase de substituição regressiva (back-substitution).
Da terceira linha temos:
x_3 = 1.
Substituímos em R_2. A segunda linha corresponde à equação
9x_2 -13x_3 = -40.
Substituindo x_3 = 1:
9x_2 -13\cdot 1 = -40 \quad\Rightarrow\quad 9x_2 -13 = -40.
Isolando x_2:
9x_2 = -40 +13 = -27 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -3.
Agora substituímos x_2 e x_3 na primeira equação. A primeira linha corresponde a
x_1 -2x_2 +3x_3 = 11.
Substituindo x_2 = -3 e x_3 = 1:
x_1 -2(-3) +3(1) = 11 \quad\Rightarrow\quad x_1 +6 +3 = 11.
Logo
x_1 +9 = 11 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom conferir): substituir (x_1,x_2,x_3)=(2,-3,1) nas equações originais:
  • Primeira: 2 -2(-3) +3(1) = 2 +6 +3 = 11 ok.
  • Segunda: 4\cdot2 +(-3) -1 = 8 -3 -1 =4 ok.
  • Terceira: 2\cdot2 -(-3) +3\cdot1 =4 +3 +3 =10 ok.
    Portanto a solução está correta.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=-3
x_{3}=1

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