Há três equações e três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
Deve-se usar o método de eliminação (Gauss) para encontrar as soluções, caso existam.
Passo 2
Vamos transformar o sistema na sua matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das incógnitas e os termos independentes numa única tabela, deixando claro quais operações aplicar:
Operações elementares de linha são permitidas e preservam o conjunto de soluções. São três tipos: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (iii) somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo da eliminação de Gauss é usar essas operações para obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal). Aí fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas.
Em cada coluna, o primeiro elemento não nulo que usamos para zerificar abaixo é chamado de pivô.
Aqui o pivô inicial é o elemento \,1 da primeira linha, primeira coluna. Usamos-o para zerar as entradas abaixo na mesma coluna.
Agora temos uma equação só com x_3 na terceira linha. Para simplificar a leitura e a substituição, vamos tornar o coeficiente de x_3 igual a 1 multiplicando a terceira linha por \tfrac{3}{4}:
R_3 \leftarrow \tfrac{3}{4} R_3.
Isso dá
0,\quad 0,\quad 1,\quad 1,
logo a terceira linha passa a representar \,x_3 = 1. A matriz é:
Com a matriz triangular superior obtida, lemos a última equação para achar x_3, depois substituímos esse valor na equação acima para achar x_2, e assim por diante até x_1.]
Passo 5
Fase de substituição regressiva (back-substitution).
Da terceira linha temos:
x_3 = 1.
Substituímos em R_2. A segunda linha corresponde à equação