(1.50p) Uma matriz se chama idempotente se \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}. Quais são os possiveis valores \operatorname{de} \operatorname{det}(\boldsymbol{A}) se A for idempotente?
Passo 1
O enunciado pede: “Quais são os possíveis valores de \det(\boldsymbol{A}) se \boldsymbol{A} for idempotente?”
Informações dadas e claras do problema:
\boldsymbol{A} é uma matriz quadrada (tamanho n\times n), e
\boldsymbol{A} é idempotente, ou seja satisfaz \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}.
Passo 2
Vou usar uma propriedade básica do determinante: para quaisquer matrizes quadradas \boldsymbol{X} e \boldsymbol{Y} de mesma ordem vale
Como \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}, tem-se também \det(\boldsymbol{A}^{2})=\det(\boldsymbol{A}). Portanto a quantidade d=\det(\boldsymbol{A}) satisfaz a igualdade
Resolver a equação escalar d^{2}=d. Colocando em forma fatorada:
d^{2}-d=0 \quad\Longrightarrow\quad d(d-1)=0.
As soluções reais desse produto são
d=0\quad\text{ou}\quad d=1.
Passo 4
Interpretação e exemplos (para fixar a ideia):
Se \det(\boldsymbol{A})=0 então \boldsymbol{A} é singular (não inversível). Isso acontece com muitas matrizes idempotentes que são projeções não triviais. Exemplo: a matriz nula \boldsymbol{0} satisfaz \boldsymbol{0}^{2}=\boldsymbol{0} e tem \det(\boldsymbol{0})=0. Outro exemplo típico é a projeção diagonal
Se \det(\boldsymbol{A})=1 então \boldsymbol{A} é inversível. A partir de \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}, multiplicando à direita (ou esquerda) por \boldsymbol{A}^{-1} obtém-se \boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}. Portanto o caso \det(\boldsymbol{A})=1 ocorre apenas quando \boldsymbol{A} é a matriz identidade \boldsymbol{I}_{n}, que de fato é idempotente e tem \det(\boldsymbol{I}_{n})=1.
Passo 5
Uma observação alternativa (útil para entender melhor): se \lambda é autovalor de \boldsymbol{A} com autovetor não nulo x, então
\boldsymbol{A}x=\lambda x \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{A}^{2}x=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}x)=\boldsymbol{A}(\lambda x)=\lambda^{2}x.
Como \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A} segue \lambda^{2}x=\lambda x, logo \lambda^{2}=\lambda e \lambda\in\{0,1\}. O determinante é o produto dos autovalores (contando multiplicidades), e portanto só pode ser produto de zeros e uns, isto é, 0 ou 1. Isso reforça a conclusão anterior.