2.78 Água escoa em uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 1 in a uma taxa de 0.75 \mathrm{ft} 1 / \mathrm{min}. Um bocal cônico com 5 in de comprimento é anexado à mangueira para acelerar o escoamento. Se o bocal reduz a área de escoamento em um fator de 4, a que distância da entrada do bocal o escoamento deve se tornar turbulento? Considere que a temperatura da água é 60^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • diâmetro interno da mangueira (entrada do bocal): d_0=1\\ \mathrm{in}.
  • vazão volumétrica: Q=0,75\\ \mathrm{ft^3/min}. Vou interpretar isto como 0,75\\ \mathrm{ft^3/min} (unidade plausível para uma mangueira de jardim).
  • comprimento do bocal (cone): L=5\\ \mathrm{in}.
  • o bocal reduz a área de escoamento em um fator 4 entre entrada e saída do bocal (logo a área de saída é A_L = A_0/4).
  • temperatura da água: 60^\circ\mathrm{F} (usada para obter a viscosidade cinemática).
O que se pede:
  • a que distância x da entrada do bocal (medida ao longo do eixo do bocal, desde x=0 na entrada até x=L na saída) o escoamento deve se tornar turbulento.
Conversões e valores numéricos que vou usar:
  • converter Q para \mathrm{ft^3/s}:
Q=\frac{0,75}{60}=0,0125\\ \mathrm{ft^3/s}.
  • converter comprimentos para pés (para trabalhar com \nu em \mathrm{ft^2/s}):
d_0=\frac{1}{12}\\ \mathrm{ft}=0,08333\\ \mathrm{ft}, \qquad L=\frac{5}{12}\\ \mathrm{ft}=0,41667\\ \mathrm{ft}.
  • como a área é reduzida por 4, o diâmetro final é \displaystyle d_L=\frac{d_0}{2}=0,041667\\ \mathrm{ft}.
  • viscosidade cinemática da água a 60^\circ\mathrm{F} (valor tabelado): vou usar \nu=1{,}22\times10^{-5}\\ \mathrm{ft^2/s} (valor padrão aproximado).
  • critério para transição laminar → turbulento: para escoamento interno em conduto, uso o número de Reynolds crítico \mathrm{Re_{cr}}=2300 (valor convencional; a transição ocorre tipicamente entre \sim2000 e \sim4000, então 2300 é uma escolha usual).

Passo 2

Vou explicar a teoria que usarei (passo a passo, como num exame).
  1. Número de Reynolds para escoamento interno:
\mathrm{Re}=\frac{v D}{\nu},
onde:
  • v é a velocidade média do fluido no conduto (em \mathrm{ft/s}),
  • D é o diâmetro do conduto no ponto considerado (em \mathrm{ft}),
  • \nu é a viscosidade cinemática (em \mathrm{ft^2/s}).
Regra prática: se \mathrm{Re}<2300 normalmente é laminar; se \mathrm{Re}\gtrsim2300 começa a transição/turbulência.
  1. Relação velocidade — vazão:
    A vazão volumétrica e a área da seção estão relacionadas por
v=\frac{Q}{A}.
Como a seção é circular com diâmetro d,
A=\frac{\pi d^2}{4}, \qquad v=\frac{4Q}{\pi d^2}.
  1. Substituindo em \mathrm{Re}:
\mathrm{Re}=\frac{v d}{\nu}=\frac{\left(\dfrac{4Q}{\pi d^2}\right)d}{\nu}=\frac{4Q}{\pi \nu d}.
Observação importante (útil na prova): com vazão fixa e fluido com \nu fixo, \mathrm{Re} varia inversamente com o diâmetro d. Ou seja, quando o diâmetro diminui, \mathrm{Re} aumenta (e fica mais fácil atingir a turbulência).
  1. Geometria do bocal (cone): o diâmetro varia linearmente do valor d_0 na entrada até d_L na saída, sobre comprimento L. Para uma posição x medida a partir da entrada:
d(x)=d_0-\left(d_0-d_L\right)\frac{x}{L}.
Portanto, a condição \mathrm{Re}(x)=\mathrm{Re_{cr}} se escreve:
\frac{4Q}{\pi \nu d(x)}=\mathrm{Re_{cr}}.
Resolvendo para d(x)
d(x)=\frac{4Q}{\pi \nu \mathrm{Re_{cr}}}.
Depois encontraremos x usando a expressão linear de d(x).

Passo 3

Calcular numericamente \mathrm{Re} na entrada do bocal ( x=0) para ver se o escoamento já é turbulento ao entrar no bocal.
Usando a fórmula \mathrm{Re}=\dfrac{4Q}{\pi \nu d} em d=d_0:
\mathrm{Re}_0=\frac{4Q}{\pi \nu d_0}.
Agora os números (mostrando contas):
4Q=4\cdot0,0125=0,05\\ \mathrm{ft^3/s}.
\nu d_0=(1{,}22\times10^{-5})\cdot0{,}08333=1{,}0167\times10^{-6}\\ \mathrm{ft^3/s}.
\pi\,\nu d_0=\pi\cdot1{,}0167\times10^{-6}=3{,}194\times10^{-6}.
\mathrm{Re}_0=\frac{0{,}05}{3{,}194\times10^{-6}}\approx1{,}57\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}_0\approx1{,}57\times10^{4}, muito maior que \mathrm{Re_{cr}}=2300. Ou seja, o escoamento já é turbulento na entrada do bocal (antes de qualquer redução de seção).

Passo 4

Para completar a análise — e mostrar o raciocínio que normalmente se pede na prova — resolvo formalmente a equação para x e mostro o que ela dá.
Encontrar o diâmetro crítico d_{\mathrm{crit}} tal que \mathrm{Re}=\mathrm{Re_{cr}}:
d_{\mathrm{crit}}=\frac{4Q}{\pi \nu \mathrm{Re_{cr}}}.
Calculemos:
\pi \nu \mathrm{Re_{cr}}=\pi\cdot(1{,}22\times10^{-5})\cdot2300\approx0{,}08815,
d_{\mathrm{crit}}=\frac{0{,}05}{0{,}08815}\approx0{,}5676\\ \mathrm{ft}\approx6{,}81\\ \mathrm{in}.
Esse valor significa: para que \mathrm{Re} fosse igual a 2300 com a dada vazão, seria necessário um diâmetro de cerca de 6{,}8\\ \mathrm{in}. Como o diâmetro real na entrada do bocal é d_0=1\\ \mathrm{in} (bem menor do que d_{\mathrm{crit}}), a condição \mathrm{Re}=\mathrm{Re_{cr}} corresponderia a uma posição x negativa quando se tenta resolver a relação linear d(x)=d_{\mathrm{crit}}. Em termos práticos isso quer dizer que a condição de transição para turbulência já foi ultrapassada antes da entrada do bocal — portanto o escoamento já está turbulento ao entrar no bocal.
Concluindo: não existe uma distância positiva x\in[0,L] dentro do bocal onde a velocidade “se torna” turbulenta: ela já é turbulenta em x=0.

Passo 5

Resposta final e interpretação curta: o escoamento já é turbulento na entrada do bocal (logo a distância a partir da entrada do bocal onde se torna turbulento é zero). Isso é consistente com os números: \mathrm{Re}_0\approx1{,}57\times10^{4}\gg2300.
Força aí — já sabemos que a condição de turbulência foi atingida antes do bocal; em prova vale mostrar o cálculo de \mathrm{Re}_0 como fiz acima e concluir que x=0.

Resposta

0\\ \mathrm{in} (o escoamento já é turbulento na entrada do bocal)

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