2.78 Água escoa em uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 1 in a uma taxa de
. Um bocal cônico com 5 in de comprimento é anexado à mangueira para acelerar o escoamento. Se o bocal reduz a área de escoamento em um fator de 4, a que distância da entrada do bocal o escoamento deve se tornar turbulento? Considere que a temperatura da água é
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
- diâmetro interno da mangueira (entrada do bocal):
. - vazão volumétrica:
. Vou interpretar isto como (unidade plausível para uma mangueira de jardim). - comprimento do bocal (cone):
. - o bocal reduz a área de escoamento em um fator 4 entre entrada e saída do bocal (logo a área de saída é
). - temperatura da água:
(usada para obter a viscosidade cinemática).
O que se pede:
- a que distância
da entrada do bocal (medida ao longo do eixo do bocal, desde na entrada até na saída) o escoamento deve se tornar turbulento.
Conversões e valores numéricos que vou usar:
- converter
para :
- converter comprimentos para pés (para trabalhar com
em ):
- como a área é reduzida por 4, o diâmetro final é
- viscosidade cinemática da água a
(valor tabelado): vou usar (valor padrão aproximado). - critério para transição laminar → turbulento: para escoamento interno em conduto, uso o número de Reynolds crítico
(valor convencional; a transição ocorre tipicamente entre e , então é uma escolha usual).
Passo 2
Vou explicar a teoria que usarei (passo a passo, como num exame).
- Número de Reynolds para escoamento interno:
onde:
-
é a velocidade média do fluido no conduto (em ), -
é o diâmetro do conduto no ponto considerado (em ), -
é a viscosidade cinemática (em ).
Regra prática: se
normalmente é laminar; se
começa a transição/turbulência.
- Relação velocidade — vazão:
A vazão volumétrica e a área da seção estão relacionadas por
Como a seção é circular com diâmetro
,
- Substituindo em
:
Observação importante (útil na prova): com vazão fixa e fluido com
fixo,
varia inversamente com o diâmetro
. Ou seja, quando o diâmetro diminui,
aumenta (e fica mais fácil atingir a turbulência).
- Geometria do bocal (cone): o diâmetro varia linearmente do valor
na entrada até na saída, sobre comprimento . Para uma posição medida a partir da entrada:
Portanto, a condição
se escreve:
Resolvendo para
dá
Depois encontraremos
usando a expressão linear de
.
Passo 3
Calcular numericamente
na entrada do bocal (
) para ver se o escoamento já é turbulento ao entrar no bocal.
Usando a fórmula
em
:
Agora os números (mostrando contas):
Interpretação:
, muito maior que
. Ou seja, o escoamento já é turbulento na entrada do bocal (antes de qualquer redução de seção).
Passo 4
Para completar a análise — e mostrar o raciocínio que normalmente se pede na prova — resolvo formalmente a equação para
e mostro o que ela dá.
Encontrar o diâmetro crítico
tal que
:
Calculemos:
Esse valor significa: para que
fosse igual a
com a dada vazão, seria necessário um diâmetro de cerca de
. Como o diâmetro real na entrada do bocal é
(bem menor do que
), a condição
corresponderia a uma posição
negativa quando se tenta resolver a relação linear
. Em termos práticos isso quer dizer que a condição de transição para turbulência já foi ultrapassada antes da entrada do bocal — portanto o escoamento já está turbulento ao entrar no bocal.
Concluindo: não existe uma distância positiva
dentro do bocal onde a velocidade “se torna” turbulenta: ela já é turbulenta em
.
Passo 5
Resposta final e interpretação curta: o escoamento já é turbulento na entrada do bocal (logo a distância a partir da entrada do bocal onde se torna turbulento é zero). Isso é consistente com os números:
.
Força aí — já sabemos que a condição de turbulência foi atingida antes do bocal; em prova vale mostrar o cálculo de
como fiz acima e concluir que
.