Etanol líquido é um fluido inflamável com ponto de fulgor (“flash point”) de 16,6^{\circ} \mathrm{C}. A temperaturas acima do ponto de fulgor, o etanol pode liberar vapor que formam misturas explosivas, que pode ser perigoso quando uma fonte de ignição está presente. Numa planta química, etanol líquido está sendo transportado em um tubo ( \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) com diâmetro interno de 3 cm e uma espessura de parede de 3 mm . O tubo passa por áreas onde uma fonte de ignição pode ocorrer ocasionalmente, e a parte externa da superfície do tubo está sujeita a um fluxo de calor de 1 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}. O etanol fluindo no tubo tem uma temperatura média de 10^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente médio de transferência de calor por convecção de 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Sua tarefa como engenheiro é garantir que o etanol seja transportado com segurança para evitar o risco de incêndio. Determinar a variação de temperatura na parede do tubo e as temperaturas das superfícies interna e externa do tubo. Ambas temperaturas superficiais estão seguramente abaixo do ponto de fulgor do etanol líquido? R. 34,0^{\circ} \mathrm{C} e 34,2^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os dados geométricos e o fluxo de calor da imagem fornecida).
Dados fornecidos:
  • condutividade térmica do metal da parede: k=15\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • diâmetro interno (peguei da imagem): D_{\text{int}}=3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • espessura da parede (peguei da imagem): t=3{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • fluxo de calor incidente na superfície externa (peguei da imagem): \dot{q}_s=1{,}0\\ \mathrm{kW/m^{2}}=1000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • temperatura média do etanol (fluido) e coeficiente convectivo interno (peguei da imagem): T_{\infty}=10{,}0^\circ\mathrm{C} e h=50\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
  • ponto de fulgor do etanol: 16{,}6^\circ\mathrm{C}.
Quantidades geométricas derivadas:
  • raio interno \;r_1=\dfrac{D_{\text{int}}}{2}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • raio externo \;r_2=r_1+t=0{,}015+0{,}003=0{,}018\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
  1. a variação de temperatura através da parede do tubo \Delta T_{\text{parede}}=T_{s2}-T_{s1};
  2. as temperaturas da superfície interna T_{s1} e da superfície externa T_{s2};
  3. dizer se ambas as temperaturas superficiais estão seguramente abaixo do ponto de fulgor do etanol.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas (explicação didática).
  • O fluxo de calor fornecido na superfície externa por unidade de área é \dot{q}_s. Para um comprimento unitário do tubo L=1\\ \mathrm{m} o calor total por comprimento que atravessa a parede é constante e vale
q'=\dot{q}_s\cdot 2\pi r_2\quad\text{(W por metro de comprimento)}.
Explicação: \dot{q}_s é W por metro quadrado sobre a superfície externa; multiplicando pela área de uma seção axial por unidade de comprimento 2\pi r_2\cdot 1 obtém-se o calor total que entra por 1 m de tubo.
  • Entre o fluido (temperatura média T_{\infty}) e a superfície interna existe resistência convectiva. A resistência térmica por unidade de comprimento associada à convecção interna é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_1 L}.
Explicação: a lei de convecção linearizada dá \dot{q}''=h\,(T_{s1}-T_{\infty}). Organizando para temperatura em termos de fluxo total leva à forma de resistência acima (analogia com circuito elétrico térmico).
  • Na parede cilíndrica a condução radial em regime estacionário tem resistência por unidade de comprimento
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Explicação: essa fórmula vem da solução da equação de condução em coordenadas cilíndricas para fluxo radial permanente; ela dá a queda de temperatura entre as superfícies cilíndricas em função do calor por comprimento.
  • A queda total de temperatura entre o fluido e a superfície externa é então
\Delta T_{\text{total}}=T_{s2}-T_{\infty}=q'\,(R_{\text{conv}}+R_{\text{cond}}).
  • A temperatura da superfície interna é
T_{s1}=T_{\infty}+q'\,R_{\text{conv}},
e a temperatura externa
T_{s2}=T_{s1}+q'\,R_{\text{cond}}.
Vamos usar L=1\\ \mathrm{m} (cálculo por metro de comprimento), o que é conveniente porque os dados de fluxo são por unidade de área.

Passo 3

Calcular o fluxo térmico por unidade de comprimento q'.
q'=\dot{q}_s\cdot 2\pi r_2 =1000\cdot 2\pi\cdot 0{,}018
2\pi\cdot 0{,}018=0{,}113097\ldots
q' \approx 1000\cdot 0{,}113097=113{,}097\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando sensatamente: q'\approx 113{,}10\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

Calcular a resistência convectiva interna R_{\text{conv}}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_1 L} =\frac{1}{50\cdot 2\pi\cdot 0{,}015\cdot 1}.
Calculemos o denominador:
2\pi\cdot 0{,}015=0{,}0942478\ldots
50\cdot 0{,}0942478=4{,}712389.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{4{,}712389}\approx 0{,}2122066\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Arredondando: R_{\text{conv}}\approx 0{,}21221\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.

Passo 5

Calcular a resistência de condução na parede R_{\text{cond}}.
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) =\frac{1}{2\pi\cdot 15\cdot 1}\ln\!\left(\frac{0{,}018}{0{,}015}\right).
Calculemos o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{0{,}018}{0{,}015}\right)=\ln(1{,}2)\approx 0{,}18232156.
Denominador:
2\pi\cdot 15=94{,}24778\ldots
Logo
R_{\text{cond}}=\frac{0{,}18232156}{94{,}24778}\approx 0{,}0019353\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
Observação útil: R_{\text{cond}} é muito menor que R_{\text{conv}}; ou seja, a maior queda térmica ocorre na convecção interna e não na parede metálica (isso explica por que as temperaturas interna e externa são quase iguais).

Passo 6

Calcular as quedas de temperatura e as temperaturas das superfícies.
Queda total entre fluido e superfície externa:
\Delta T_{\text{total}}=q'\,(R_{\text{conv}}+R_{\text{cond}}).
Substituindo:
R_{\text{conv}}+R_{\text{cond}}=0{,}2122066+0{,}0019353=0{,}2141419\\ \mathrm{K/W}.
\Delta T_{\text{total}}=113{,}097\cdot 0{,}2141419\approx 24{,}228\\ \mathrm{K}.
Como T_{\infty}=10{,}0^\circ\mathrm{C},
T_{s2}=T_{\infty}+\Delta T_{\text{total}}=10{,}0+24{,}228\approx 34{,}228^\circ\mathrm{C}.
Temperatura da superfície interna:
T_{s1}=T_{\infty}+q'R_{\text{conv}}=10{,}0+113{,}097\cdot 0{,}2122066.
q'R_{\text{conv}}\approx 24{,}000\\ \mathrm{K},
logo
T_{s1}\approx 10{,}0+24{,}000=34{,}000^\circ\mathrm{C}.
Variação de temperatura através da parede (somente condução):
\Delta T_{\text{parede}}=T_{s2}-T_{s1}=q'R_{\text{cond}}=113{,}097\cdot 0{,}0019353\approx 0{,}228^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para apresentação final: T_{s1}\approx 34{,}0^\circ\mathrm{C}, T_{s2}\approx 34{,}2^\circ\mathrm{C}, \Delta T_{\text{parede}}\approx 0{,}228^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação de segurança em relação ao ponto de fulgor:
  • O ponto de fulgor do etanol é 16{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Ambas as superfícies calculadas ( 34{,}0^\circ\mathrm{C} e 34{,}2^\circ\mathrm{C}) estão bem acima de 16{,}6^\circ\mathrm{C}.
Conclusão: não, as superfícies não estão seguramente abaixo do ponto de fulgor — na verdade estão consideravelmente acima, o que significa risco de vapores inflamáveis se houver ignição. É necessário projetar medidas adicionais de segurança (por exemplo isolamento térmico, redução do fluxo térmico incidente, proteção contra fontes de ignição, arrefecimento ativo, etc.).

Resposta

\Delta T_{\text{parede}}=0{,}228^\circ\mathrm{C}
T_{s1}=34{,}0^\circ\mathrm{C}
T_{s2}=34{,}2^\circ\mathrm{C}
Não — ambas as temperaturas estão acima do ponto de fulgor 16{,}6^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados