2.7 Um campo de velocidade ċ dado por
. onde
. Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades
com
e
. Pede-se:
- Determinar a equação das linhas de corrente.
- Traçar (ou descrever) algumas linhas de corrente no primeiro quadrante
.
Informações relevantes que eu peguei do enunciado:
- Componente horizontal da velocidade:
. - Componente vertical da velocidade:
. - Valores numéricos:
(com unidades indicadas) e (com unidades indicadas).
Passo 2
O que é uma linha de corrente e como obtê-la (aula curta e prática).
- Linha de corrente (steady flow): é uma curva no plano cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. Em outras palavras, se a curva é dada por
, a inclinação da curva em cada ponto deve coincidir com a razão entre a componente vertical e a componente horizontal da velocidade naquele ponto. - Portanto, para um campo de velocidade
e fluxo estacionário (independente do tempo), as linhas de corrente satisfazem a equação diferencial:
- Aqui,
e . Substituindo:
Explico as variáveis:
e
são coordenadas espaciais;
e
são constantes (dadas). A razão
é a inclinação da linha de corrente no ponto
.
Observação sobre unidades (importante, curta e honesta):
- As unidades dadas no enunciado para
e parecem ter sido informadas, mas, estritamente, se e tem dimensão de metro, para que tenha dimensão de o coeficiente deveria ter unidades . Como o enunciado fornece os valores numéricos e , vou prosseguir tratando e como constantes numéricas positivas (a manipulação matemática não muda), e ao final usarei para exemplos. Se na prova houver exigência de verificar dimensões, comente isso ao professor; para o cálculo das linhas de corrente o procedimento é o mesmo.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo-a-passo).
Partimos de
Partimos de
Separar as variáveis (colocar tudo que depende de
de um lado e de
do outro):
Agora integramos ambos os lados. Explico a integral:
-
. A primitiva de é quando . Aqui então . -
.
Aplicando:
onde
é a constante de integração (uma constante adimensional, em princípio). Multiplicando por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária. Esta é a forma implícita da família de linhas de corrente.
É conveniente escrever a constante
em função de um ponto inicial
por onde passa a linha de corrente: substituindo
na relação obtém-se
Logo, a linha de corrente que passa por
satisfaz
Podemos também isolar
(escolhendo o ramo positivo para o primeiro quadrante
):
Passo 4
Especializar para os valores numéricos
e
(simplifica e facilita desenho).
Com a relação fica
Com
Assim,
Constante
a partir de um ponto
:
Exemplos de linhas de corrente no primeiro quadrante (escolho algumas curvas que passam por pontos fáceis):
- Linha de corrente passando por
:
portanto
Domínio: essa expressão exige
. No primeiro quadrante a curva existe para
. Comportamento: quando
o termo
e então
; quando
temos
. Em palavras: a curva sobe até infinito ao aproximar-se de
.
- Linha passando por
:
logo
Esta é uma curva definida para
e cresce como
.
- Linha passando por
:
assim
Comportamento: quando
o termo
e
. Ou seja, essa curva tem uma assíntota horizontal
para grandes
.
Passo 5
Características gerais e orientações de desenho (como você desenha rápido numa prova).
- Para o primeiro quadrante
, todas as curvas são dadas por
- Direção do escoamento: como para
e temos e , o vetor velocidade aponta para nordeste (componente positiva em e ). Assim, ao desenhar, coloque setas das curvas apontando para aumentos de e . - Comportamento típico:
- Como
o termo e então . Logo as linhas começam próximas ao eixo com pequeno. - Para
há um limite quando : assíntota horizontal. - Para
obtém-se . - Para
existe um valor finito de onde ; à medida que essa é atingida a curva tende a (vertical asymptote), portanto a linha está definida somente para menor que esse ponto.
- Como
- Para desenhar rapidamente: escolha pontos iniciais
no primeiro quadrante, calcule pela fórmula e trace a curva usando a expressão de . Coloque setas para a direção .