2.7 Um campo de velocidade ċ dado por \vec{V}=a x^{2} \vec{i}+b y^{3} \vec{j}. onde a= 1 \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{e} b=1 \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
\vec{V}(x,y)=a\,x^{2}\,\vec{i}+b\,y^{3}\,\vec{j},
com a=1\\ \mathrm{m^{-2}\,s^{-1}} e b=1\\ \mathrm{m^{-1}\,s^{-1}}. Pede-se:
  • Determinar a equação das linhas de corrente.
  • Traçar (ou descrever) algumas linhas de corrente no primeiro quadrante (x>0,\\ y>0).
Informações relevantes que eu peguei do enunciado:
  • Componente horizontal da velocidade: u(x,y)=a x^{2}.
  • Componente vertical da velocidade: v(x,y)=b y^{3}.
  • Valores numéricos: a=1 (com unidades indicadas) e b=1 (com unidades indicadas).

Passo 2

O que é uma linha de corrente e como obtê-la (aula curta e prática).
  • Linha de corrente (steady flow): é uma curva no plano cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. Em outras palavras, se a curva é dada por y(x), a inclinação \dfrac{dy}{dx} da curva em cada ponto deve coincidir com a razão entre a componente vertical e a componente horizontal da velocidade naquele ponto.
  • Portanto, para um campo de velocidade \vec{V}=(u(x,y),v(x,y)) e fluxo estacionário (independente do tempo), as linhas de corrente satisfazem a equação diferencial:
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y)}{u(x,y)}.
  • Aqui, u(x,y)=a x^{2} e v(x,y)=b y^{3}. Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{b\,y^{3}}{a\,x^{2}}.
Explico as variáveis: x e y são coordenadas espaciais; a e b são constantes (dadas). A razão \dfrac{dy}{dx} é a inclinação da linha de corrente no ponto (x,y).
Observação sobre unidades (importante, curta e honesta):
  • As unidades dadas no enunciado para a e b parecem ter sido informadas, mas, estritamente, se v=b y^{3} e y tem dimensão de metro, para que v tenha dimensão de \mathrm{m/s} o coeficiente b deveria ter unidades \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}. Como o enunciado fornece os valores numéricos a=1 e b=1, vou prosseguir tratando a e b como constantes numéricas positivas (a manipulação matemática não muda), e ao final usarei a=b=1 para exemplos. Se na prova houver exigência de verificar dimensões, comente isso ao professor; para o cálculo das linhas de corrente o procedimento é o mesmo.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo-a-passo).
Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{b\,y^{3}}{a\,x^{2}}.
Separar as variáveis (colocar tudo que depende de y de um lado e de x do outro):
\frac{dy}{y^{3}}=\frac{b}{a}\,\frac{dx}{x^{2}}.
Agora integramos ambos os lados. Explico a integral:
  • \displaystyle\int y^{-3}\,dy=\int \frac{1}{y^{3}}\,dy. A primitiva de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1. Aqui n=-3 então \displaystyle\int y^{-3}\,dy=\frac{y^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2y^{2}}.
  • \displaystyle\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}.
    Aplicando:
\int \frac{dy}{y^{3}}=\int \frac{b}{a}\,\frac{dx}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{2y^{2}}=-\frac{b}{a}\,\frac{1}{x}+C,
onde C é a constante de integração (uma constante adimensional, em princípio). Multiplicando por -2 para simplificar:
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2b}{a}\,\frac{1}{x}+C_1,
onde C_1=-2C é outra constante arbitrária. Esta é a forma implícita da família de linhas de corrente.
É conveniente escrever a constante C_1 em função de um ponto inicial (x_0,y_0) por onde passa a linha de corrente: substituindo (x_0,y_0) na relação obtém-se
\frac{1}{y_0^{2}}=\frac{2b}{a}\,\frac{1}{x_0}+C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{1}{y_0^{2}}-\frac{2b}{a}\,\frac{1}{x_0}.
Logo, a linha de corrente que passa por (x_0,y_0) satisfaz
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2b}{a}\,\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{y_0^{2}}-\frac{2b}{a}\,\frac{1}{x_0}\right).
Podemos também isolar y (escolhendo o ramo positivo para o primeiro quadrante y>0):
y(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{2b}{a}\dfrac{1}{x}+C_1}}.

Passo 4

Especializar para os valores numéricos a=1 e b=1 (simplifica e facilita desenho).
Com a=b=1 a relação fica
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+C_1.
Assim,
y(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{x}+C_1}}\qquad (y>0).
Constante C_1 a partir de um ponto (x_0,y_0):
C_1=\frac{1}{y_0^{2}}-\frac{2}{x_0}.
Exemplos de linhas de corrente no primeiro quadrante (escolho algumas curvas que passam por pontos fáceis):
  1. Linha de corrente passando por (x_0,y_0)=(1,1):
C_1=\frac{1}{1^{2}}-\frac{2}{1}=1-2=-1,
portanto
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}-1 \quad\text{ou}\quad y(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{x}-1}}.
Domínio: essa expressão exige \dfrac{2}{x}-1>0\Rightarrow x<2. No primeiro quadrante a curva existe para 0<x<2. Comportamento: quando x\to0^+ o termo 2/x\to+\infty e então y\to0^+; quando x\to 2^{-} temos y\to +\infty. Em palavras: a curva sobe até infinito ao aproximar-se de x=2.
  1. Linha passando por (x_0,y_0)=(2,1):
C_1=\frac{1}{1^{2}}-\frac{2}{2}=1-1=0,
logo
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x} \quad\Rightarrow\quad y(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}.
Esta é uma curva definida para x>0 e cresce como \sqrt{x}.
  1. Linha passando por (x_0,y_0)=(4,1):
C_1=\frac{1}{1^{2}}-\frac{2}{4}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
assim
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+\tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad y(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{x}+\tfrac{1}{2}}}.
Comportamento: quando x\to\infty o termo 2/x\to0 e y\to 1/\sqrt{1/2}=\sqrt{2}. Ou seja, essa curva tem uma assíntota horizontal y=\sqrt{2} para grandes x.

Passo 5

Características gerais e orientações de desenho (como você desenha rápido numa prova).
  • Para o primeiro quadrante x>0,y>0, todas as curvas são dadas por
y(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{2b}{a}\dfrac{1}{x}+C_1}}\quad\text{(escolher \(C_1\) para cada linha)}.
  • Direção do escoamento: como para x>0 e y>0 temos u=a x^{2}>0 e v=b y^{3}>0, o vetor velocidade aponta para nordeste (componente positiva em x e y). Assim, ao desenhar, coloque setas das curvas apontando para aumentos de x e y.
  • Comportamento típico:
    • Como x\to0^{+} o termo \dfrac{2b}{a}\dfrac{1}{x}\to+\infty e então y\to0^{+}. Logo as linhas começam próximas ao eixo x=0 com y pequeno.
    • Para C_1>0 há um limite y\to 1/\sqrt{C_1} quando x\to\infty: assíntota horizontal.
    • Para C_1=0 obtém-se y\propto\sqrt{x}.
    • Para C_1<0 existe um valor finito de x onde \dfrac{2b}{a}\dfrac{1}{x}+C_1=0; à medida que essa x é atingida a curva y tende a +\infty (vertical asymptote), portanto a linha está definida somente para x menor que esse ponto.
  • Para desenhar rapidamente: escolha pontos iniciais (x_0,y_0) no primeiro quadrante, calcule C_1 pela fórmula e trace a curva usando a expressão de y(x). Coloque setas para a direção x\uparrow,y\uparrow.

Resposta

\displaystyle \text{Equação geral das linhas de corrente:}\quad \frac{1}{y^{2}}=\frac{2b}{a}\,\frac{1}{x}+C_1.çã
\displaystyle \text{Para }a=b=1:\quad \frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+C_1,\\ \text{ou}\\ y(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{x}+C_1}}.
\displaystyle \text{Exemplos no 1.º quadrante:}º
\displaystyle \text{(i) passando por }(1,1):\\ \frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}-1
\displaystyle \text{(ii) passando por }(2,1):\\ \frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}\\ \Longleftrightarrow\\ y=\sqrt{\frac{x}{2}}
\displaystyle \text{(iii) passando por }(4,1):\\ \frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+\tfrac{1}{2}.

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