7ạ questão:
Uma função y(x) deve ser determinada a partir de sua derivada. Determine \mathrm{y}(\mathrm{x})
\frac{d y}{d x}=1-2 \delta(x-1)

Passo 1

O enunciado dá a derivada de y(x) como
\frac{dy}{dx}=1-2\,\delta(x-1)
e pede para recuperar y(x). Para isso vamos integrar essa expressão e usar a propriedade da função delta de Dirac.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x)=\int\bigl(1-2\,\delta(x-1)\bigr)\,dx + C.

Passo 3

Separamos as integrais e usamos
\displaystyle\int1\,dx = x
e
\displaystyle\int\delta(x-1)\,dx = H(x-1),
onde H é a função de Heaviside. Logo
y(x)=x - 2\,H(x-1) + C.

Passo 4

Pelo fato de
H(x-1)= \begin{cases} 0, & x<1,\\\\ 1, & x>1, \end{cases}
temos
y(x)= \begin{cases} x + C, & x<1,\\\ x -2 + C, & x>1. \end{cases}

Passo 5

Observando o gráfico, notamos que y(0)=0 (a curva passa pela origem). Para x<1 vale y(x)=x+C, então
y(0)=0+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=0.

Passo 6

Substituindo C=0, obtemos a solução:
y(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\ x-2, & x>1. \end{cases}

Passo 7

No ponto x=1 o gráfico mostra um círculo aberto em (1,1) e fechado em (1,-1), ou seja,
y(1)=-1.

Resposta

y(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\\ -1, & x=1,\\\ x-2, & x>1. \end{cases}

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