8́ questão: Considere um corpo de temperatura uniforme submetido a um fluxo de calor periódico. Inicialmente a temperatura é zero.
Obtenha a temperatura
como função do tempo usando a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado fala de um corpo de temperatura uniforme, sem gradientes internos, sujeito a um fluxo de calor periódico que chamaremos de
. A temperatura inicial é
. O conteúdo é o método de Laplace para resolver a equação de balanço térmico em um corpo lumped (modelo de “massa térmica”). Para resolver, precisamos:
- Escrever a equação diferencial ordinária de energia (capacitância térmica
vezes a derivada de igual ao fluxo de calor de entrada). - Tomar a transformada de Laplace dessa ODE.
- Isolar a transformada
de . - Inverter a transformada para obter
.
Passo 2
Escrevemos a equação de balanço de energia no modelo lumped:
onde
é a capacitância térmica do corpo (por exemplo
) e
é o fluxo de calor periódico. Para sermos específicos, tomaremos
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace na ODE. Denotando
, usamos
e
:
Isolando
,
Passo 4
Agora fazemos a antitransformada. Sabemos que
.
Assim,
Assim,