8́ questão: Considere um corpo de temperatura uniforme submetido a um fluxo de calor periódico. Inicialmente a temperatura é zero.
Obtenha a temperatura \theta como função do tempo usando a transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado fala de um corpo de temperatura uniforme, sem gradientes internos, sujeito a um fluxo de calor periódico que chamaremos de \dot Q(t). A temperatura inicial é \theta(0)=0. O conteúdo é o método de Laplace para resolver a equação de balanço térmico em um corpo lumped (modelo de “massa térmica”). Para resolver, precisamos:
  1. Escrever a equação diferencial ordinária de energia (capacitância térmica \,C vezes a derivada de \theta igual ao fluxo de calor de entrada).
  2. Tomar a transformada de Laplace dessa ODE.
  3. Isolar a transformada \Theta(s) de \theta(t).
  4. Inverter a transformada para obter \theta(t).

Passo 2

Escrevemos a equação de balanço de energia no modelo lumped:
C\,\frac{d\theta(t)}{dt} \;=\;\dot Q(t),
onde C é a capacitância térmica do corpo (por exemplo C=\rho\,V\,c) e \dot Q(t) é o fluxo de calor periódico. Para sermos específicos, tomaremos
\dot Q(t)=\dot Q_{0}\,\cos(\omega t).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace na ODE. Denotando \Theta(s)=\mathcal{L}\{\theta(t)\}, usamos \theta(0)=0 e \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=s/(s^2+\omega^2):
C\bigl[s\,\Theta(s)-\theta(0)\bigr] =\dot Q_{0}\,\frac{s}{s^2+\omega^2} \quad\Longrightarrow\quad C\,s\,\Theta(s) =\dot Q_{0}\,\frac{s}{s^2+\omega^2}.
Isolando \Theta(s),
\Theta(s) =\frac{\dot Q_{0}}{C}\,\frac{s}{s\,(s^2+\omega^2)} =\frac{\dot Q_{0}}{C}\,\frac{1}{s^2+\omega^2}.

Passo 4

Agora fazemos a antitransformada. Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\omega/(s^2+\omega^2).
Assim,
\Theta(s) =\frac{\dot Q_{0}}{C}\,\frac{1}{s^2+\omega^2} =\frac{\dot Q_{0}}{C\,\omega}\; \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \quad\Longrightarrow\quad \theta(t) =\frac{\dot Q_{0}}{C\,\omega}\,\sin(\omega t).

Resposta

\boxed{\theta(t)=\frac{\dot Q_{0}}{C\,\omega}\,\sin(\omega t).}

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