7B.2(a) Considere uma função de onda independente do tempo de um átomo de hidrogênio. Identifique as variáveis das quais a função de onda depende. Use coordenadas polares esféricas.

Passo 1

O enunciado pede: identificar as variáveis das quais depende uma função de onda independente do tempo de um átomo de hidrogênio, usando coordenadas polares esféricas.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função de onda é independente do tempo (logo falamos da parte espacial estacionária) e estamos usando coordenadas esféricas (também chamadas de coordenadas polares esféricas).

Passo 2

O que significa “função de onda independente do tempo”?
  • Numa descrição quântica usual, a solução geral para um estado estacionário tem a forma \Psi(\mathbf{r},t)=\psi(\mathbf{r})\,e^{-iEt/\hbar}.
  • Quando dizemos “independente do tempo” estamos falando da parte espacial \psi(\mathbf{r}) (ou seja, a dependência e^{-iEt/\hbar} foi separada e ignorada).
    Portanto aqui vamos identificar as variáveis de \psi, a parte espacial.

Passo 3

O que são coordenadas polares esféricas e quais são seus símbolos e domínios:
  • A posição no espaço \mathbf{r} em coordenadas esféricas é descrita por três variáveis: o raio r, o ângulo polar \theta e o ângulo azimutal \varphi.
  • Significado físico e domínios:
    • r: distância radial até o núcleo, com r\in[0,\infty).
    • \theta: ângulo polar medido a partir do eixo z, com \theta\in[0,\pi].
    • \varphi: ângulo azimutal no plano xy, com \varphi\in[0,2\pi).
      Essas três variáveis parametram toda a posição do elétron ao redor do núcleo.

Passo 4

Forma geral da função de onda espacial de um estado estacionário do átomo de hidrogênio (separação radial e angular):
  • Pela simetria esférica do problema e pela técnica de separação de variáveis, as soluções estacionárias (autofunções do hamiltoniano do átomo de hidrogênio) podem ser escritas como produto da parte radial e da parte angular:
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)\;Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
  • Aqui:
    • R_{n,l}(r) é a função radial (depende só de r e dos números quânticos n e l); seu domínio é r\in[0,\infty).
    • Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) é o harmônico esférico (parte angular), que depende de \theta e \varphi e dos números quânticos l e m; seus domínios são \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi).
  • Conclusão técnica: a parte espacial \psi depende exatamente das variáveis (r,\theta,\varphi).

Passo 5

Observação sobre spin e notação completa:
  • Se for necessário incluir o spin do elétron, a função de onda total (estado puro do elétron) costuma ser escrita como produto da parte espacial pela parte de spin \chi_{m_s}, ou seja:
\Psi(r,\theta,\varphi,s)=\psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)\,\chi_{m_s}(s),
onde s representa a coordenada de spin (ou simplesmente o índice m_s=\pm\tfrac{1}{2} para elétron).
  • Mas, se o enunciado pede apenas a função de onda independente do tempo padrão para o átomo de hidrogênio (as soluções de Schrödinger não-relativísticas sem tratar spin), a dependência é apenas em r,\theta,\varphi.

Passo 6

Resumo didático e uma forma prática de escrever na prova:
  • Ao responder na prova, escreva claramente que a função de onda espacial estacionária é \psi(r,\theta,\varphi), descreva os domínios de cada variável e, se quiser mostrar conhecimento, escreva a forma separada com R_{n,l}(r) e Y_l^m(\theta,\varphi).
  • Um exemplo de resposta curta e correta é: \psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)Y_l^m(\theta,\varphi) com r\in[0,\infty), \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi).

Resposta

\psi=\psi(r,\theta,\varphi) com r\in[0,\infty), \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi) (ou, explicitamente, \psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)).

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