7B.2(a) Considere uma função de onda independente do tempo de um átomo de hidrogênio. Identifique as variáveis das quais a função de onda depende. Use coordenadas polares esféricas.
Passo 1
O enunciado pede: identificar as variáveis das quais depende uma função de onda independente do tempo de um átomo de hidrogênio, usando coordenadas polares esféricas.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função de onda é independente do tempo (logo falamos da parte espacial estacionária) e estamos usando coordenadas esféricas (também chamadas de coordenadas polares esféricas).
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função de onda é independente do tempo (logo falamos da parte espacial estacionária) e estamos usando coordenadas esféricas (também chamadas de coordenadas polares esféricas).
Passo 2
O que significa “função de onda independente do tempo”?
- Numa descrição quântica usual, a solução geral para um estado estacionário tem a forma
. - Quando dizemos “independente do tempo” estamos falando da parte espacial
(ou seja, a dependência foi separada e ignorada).
Portanto aqui vamos identificar as variáveis de, a parte espacial.
Passo 3
O que são coordenadas polares esféricas e quais são seus símbolos e domínios:
- A posição no espaço
em coordenadas esféricas é descrita por três variáveis: o raio , o ângulo polar e o ângulo azimutal . - Significado físico e domínios:
-
: distância radial até o núcleo, com . -
: ângulo polar medido a partir do eixo , com . -
: ângulo azimutal no plano , com .
Essas três variáveis parametram toda a posição do elétron ao redor do núcleo.
-
Passo 4
Forma geral da função de onda espacial de um estado estacionário do átomo de hidrogênio (separação radial e angular):
- Pela simetria esférica do problema e pela técnica de separação de variáveis, as soluções estacionárias (autofunções do hamiltoniano do átomo de hidrogênio) podem ser escritas como produto da parte radial e da parte angular:
- Aqui:
-
é a função radial (depende só de e dos números quânticos e ); seu domínio é . -
é o harmônico esférico (parte angular), que depende de e e dos números quânticos e ; seus domínios são , .
-
- Conclusão técnica: a parte espacial
depende exatamente das variáveis .
Passo 5
Observação sobre spin e notação completa:
- Se for necessário incluir o spin do elétron, a função de onda total (estado puro do elétron) costuma ser escrita como produto da parte espacial pela parte de spin
, ou seja:
onde
representa a coordenada de spin (ou simplesmente o índice
para elétron).
- Mas, se o enunciado pede apenas a função de onda independente do tempo padrão para o átomo de hidrogênio (as soluções de Schrödinger não-relativísticas sem tratar spin), a dependência é apenas em
.
Passo 6
Resumo didático e uma forma prática de escrever na prova:
- Ao responder na prova, escreva claramente que a função de onda espacial estacionária é
, descreva os domínios de cada variável e, se quiser mostrar conhecimento, escreva a forma separada com e . - Um exemplo de resposta curta e correta é:
com , , .