7B.2(b) Considere uma função de onda independente do tempo de um átomo de hélio. Identifique as variáveis das quais a função de onda depende. Use coordenadas polares esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique, para um estado estacionário (função de onda independente do tempo) do átomo de hélio, de quais variáveis essa função de onda depende, e que eu apresente isso usando coordenadas polares esféricas.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
O sistema é o átomo de hélio: núcleo e dois elétrons.
A função de onda é independente do tempo (estado estacionário).
Deve-se usar coordenadas polares esféricas para as posições dos elétrons.
Não foi pedido para resolver a equação de Schrödinger nem para dar formas explícitas de orbitais, somente listar as variáveis de que a função de onda depende.
Passo 2
Descrever o que significa “variáveis da função de onda” no contexto: a função de onda descreve a probabilidade quântica de encontrar as partículas em certas posições e com certos spins. Para um átomo com dois elétrons a função de onda espacial precisa especificar a posição do elétron 1 e a posição do elétron 2. Cada posição espacial em coordenadas esféricas é dada por três números: o raio e dois ângulos.
Passo 3
Especificar as coordenadas esféricas para cada elétron e seus domínios:
Para o elétron 1: (r_1,\theta_1,\phi_1), onde \;r_1\in[0,\infty),\;\theta_1\in[0,\pi],\;\phi_1\in[0,2\pi).
Para o elétron 2: (r_2,\theta_2,\phi_2), onde \;r_2\in[0,\infty),\;\theta_2\in[0,\pi],\;\phi_2\in[0,2\pi).
Explicação curta: \;r_i é a distância do elétron i ao núcleo (assumido no pólo/origem), \theta_i é o ângulo polar e \phi_i o ângulo azimutal.
Passo 4
Incluir as variáveis de spin: cada elétron tem uma coordenada de spin discreta. Podemos indicar essas variáveis por \sigma_1 e \sigma_2, com valores possíveis, por exemplo, \sigma_i=\uparrow ou \sigma_i=\downarrow (ou numericamente \sigma_i=\pm\tfrac{1}{2}). Essas variáveis entram na função de onda total (espaço × spin).
Passo 5
Escrever a forma geral da função de onda, explicitando todas as variáveis (espaciais em esféricas + spins). A notação padrão e direta é:
Comentário didático: isso significa que, para determinar a amplitude complexa associada ao sistema, preciso conhecer as seis coordenadas angulares/radiais (três de cada elétron) e os dois estados de spin. É por isso que um átomo de dois elétrons tem uma função de onda que vive num espaço de configuração de dimensão contínua 6 (mais as componentes discretas de spin).
Passo 6
Observações úteis para a prova (o que vale lembrar sobre essas variáveis):
Se o enunciado pedir somente a parte espacial (ignorando spin), a função de onda espacial é
Elétrons são indistinguíveis: a troca 1\leftrightarrow2 impõe que a função de onda total seja antissimétrica sob troca (no conjunto espaço+spin). Na prática, isso implica correlações entre a parte espacial e a parte de spin (ex.: estado fundamental do hélio é singlete de spin, com a parte espacial simétrica).
Alternativa útil em cálculos: às vezes é conveniente mudar para coordenadas centro-de-massa e relativa (por exemplo \mathbf{R} e \mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2), mas a resposta pedida aqui é mais direta em esféricas individuais.
Passo 7
Recapitulando de forma bem prática, para usar na prova: escreva sempre as seis variáveis esféricas (três por elétron) e, se for o caso, acrescente as duas variáveis de spin. Não esqueça dos domínios dos ângulos e da presença dos jacobianos \,r_i^{2}\sin\theta_i nas integrais.
Resposta
\displaystyle \Psi=\Psi\bigl(r_1,\theta_1,\phi_1;\;r_2,\theta_2,\phi_2;\;\sigma_1,\sigma_2\bigr) (forma completa, espaço e spin)
\displaystyle \psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=\psi\bigl(r_1,\theta_1,\phi_1;\;r_2,\theta_2,\phi_2\bigr) (apenas a parte espacial, se o spin for ignorado)