2.7L Determine 3 números positivos cuja soma seja
e o produto o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar três números positivos cuja soma seja
e cujo produto seja o maior possível. O conteúdo principal aqui é otimização com restrição, e vamos usar a desigualdade aritmético-geométrica (AM-GM) para resolver.
Passo 2
Sejam
,
e
os três números positivos. Temos a restrição
e queremos maximizar a função objetivo
Passo 3
A desigualdade AM-GM para três números não negativos afirma que
com igualdade se e somente se
.
Passo 4
Substituindo a soma fixa, obtemos
e elevando ambos os lados ao cubo
O maior produto ocorre exatamente no caso de igualdade, ou seja, quando
Resposta
Os três números são
,
e
, e o produto máximo vale
.