2.7L Determine 3 números positivos cuja soma seja alpha e o produto o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três números positivos cuja soma seja alpha e cujo produto seja o maior possível. O conteúdo principal aqui é otimização com restrição, e vamos usar a desigualdade aritmético-geométrica (AM-GM) para resolver.

Passo 2

Sejam x, y e z os três números positivos. Temos a restrição
x + y + z = alpha
e queremos maximizar a função objetivo
P = x , y , z

Passo 3

A desigualdade AM-GM para três números não negativos afirma que
x + y + z3 >= raiz[3]x , y , z,
com igualdade se e somente se x = y = z.

Passo 4

Substituindo a soma fixa, obtemos
alpha3 >= raiz[3]x , y , z
e elevando ambos os lados ao cubo
x , y , z <= l(alpha3r)^3
O maior produto ocorre exatamente no caso de igualdade, ou seja, quando
x = y = z = alpha3

Resposta

Os três números são alpha3, alpha3 e alpha3, e o produto máximo vale l(alpha3r)^3.

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