Em cada um dos itens abaixo, considere a função f: R^n R e o vetor v in R^n e calcule partial fpartial v(x).
(1,25 ponto) b) f(x)=integral0^|x|^2 e^-t^2 d t, em que |x| denota a norma euclidiana de x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional
partial fpartial v(x)
para a função
f(x)=integral0^|x|^2 e^-t^2,dt,
onde |x| é a norma euclidiana de x e vinR^n é o vetor de direção.
Conteúdo: regra da cadeia e derivada direcional via gradiente.

Passo 2

Reconhecemos que f é composição de
g(u)=integral0^ue^-t^2,dt com u=|x|^2
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f(x)=gl(|x|^2r)

Passo 3

Calculamos g'(u) usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
g'(u)=e^-u^2

Passo 4

Precisamos da derivada direcional de u(x)=|x|^2. Como
u(x)=xcdot x,
temos o gradiente nabla u(x)=2x e, portanto,
Dvu(x)=nabla u(x)cdot v=2,xcdot v

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para derivada direcional:
partial fpartial v(x) = g'l(|x|^2r);Dvu(x) = e^-l(|x|^2r)^2;l(2,xcdot vr)

Resposta

partial fpartial v(x) =2,e^-|x|^4,(xcdot v)

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