Determine o valor de beta=x^6+1x^6, sabendo que x+1x=1.
Sugestão: fatore x^6+1x^6 como uma soma de cubos, e observe que x^2+1x^2=(x+1x)^2-2 assim como x^4+1x^4=(x^2+1x^2)^2-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
beta = x^6 + 1x^6
sabendo que
x + 1x = 1
O conteúdo aqui são identidades para somas de potências simétricas:
– usar
x^2 + 1x^2 = l(x + tfrac1xr)^2 - 2,
– usar
x^4 + 1x^4 = l(x^2 + tfrac1x^2r)^2 - 2,
– fatorar
x^6 + 1x^6
como soma de cubos.

Passo 2

Calcular
x^2 + 1x^2 = l(x + tfrac1xr)^2 - 2 = 1^2 - 2 = -1

Passo 3

Calcular
x^4 + 1x^4 = l(x^2 + tfrac1x^2r)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1

Passo 4

Fatorar
x^6 + 1x^6 = l(x^2r)^3 + l(tfrac1x^2r)^3 = (x^2 + tfrac1x^2)l((x^2)^2 - x^2cdottfrac1x^2 + (tfrac1x^2)^2r)
No parêntese surge
(x^4 + tfrac1x^4) - 1,
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x^6 + 1x^6 = l(x^2 + tfrac1x^2r)l((x^4 + tfrac1x^4) - 1r)
Substituindo x^2+tfrac1x^2 = -1 e x^4+tfrac1x^4 = -1, vem
x^6 + 1x^6 = (-1)l(-1 - 1r) = (-1)cdot(-2) = 2

Resposta

2

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