[8] Justifique por que as afirmações abaixo são verdadeiras.
[Dica: Você pode justificar do modo que julgar apropriado. Entretanto todas as afirmações podem ser justificadas pelo Teorema de Bolzano e/ou pelo Teorema do valor intermediário]
(a) Seja
a função dada por
. Então existem ao menos 3 pontos no intervalo
, onde
vale 1 .
(b) Seja
um polinômio de grau
ímpar. Então, para qualquer
, existe
, tal que
.
[Dica: Divida a afirmação nos casos
e
. Calcule os limites do polinômio em
e lembre da definição destes limites]
(c) Seja
uma função contínua, tal que
, para todo
. Então existe
, tal que
.
[Dica: Aplique um dos Teoremas citados à função
]
(d) Seja
uma função contínua, tal que
e
. Então existe
, tal que
.
[Dica: Use o mesmo raciocínio do item (c)]
[Dica: Você pode justificar do modo que julgar apropriado. Entretanto todas as afirmações podem ser justificadas pelo Teorema de Bolzano e/ou pelo Teorema do valor intermediário]
(a) Seja
(b) Seja
[Dica: Divida a afirmação nos casos
(c) Seja
[Dica: Aplique um dos Teoremas citados à função
(d) Seja
[Dica: Use o mesmo raciocínio do item (c)]
Passo 1
O enunciado pede para justificar quatro afirmações usando o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário). Em cada caso vamos definir uma função contínua apropriada, mostrar que ela assume valores de sinais opostos (ou limites opostos), e então concluir pela existência de um ponto onde ela vale zero (ou atinge um valor desejado).
Passo 2
(a) Seja
contínua em . Queremos mostrar que existem pelo menos três pontos em
com
. Defina
Note que
logo, por Bolzano, existe
com
. Analogamente,
dá um
, e
dá um
. Em cada caso
, isto é,
, totalizando pelo menos três soluções.
Passo 3
(b) Seja
de grau ímpar (
,
ímpar). Para qualquer considere
Como
é ímpar, temos
ou seja, para algum
grande
e
têm sinais opostos. Pelo Teorema de Bolzano existe
com
, ou seja,
.
Passo 4
(c) Seja contínua com
. Defina
Então
Como
é contínua e muda de sinal, pelo Teorema de Bolzano existe
com
, isto é,
.
Passo 5
(d) Seja contínua com
e
. Tome
Então
e pela mesma aplicação de Bolzano existe
com
, ou seja,
.
Resposta
As afirmações (a), (b), (c) e (d) são verdadeiras por aplicação do Teorema de Bolzano/Valor Intermediário.