[8] Justifique por que as afirmações abaixo são verdadeiras.
[Dica: Você pode justificar do modo que julgar apropriado. Entretanto todas as afirmações podem ser justificadas pelo Teorema de Bolzano e/ou pelo Teorema do valor intermediário]
(a) Seja f: R R a função dada por f(x)=sen(x)+1. Então existem ao menos 3 pontos no intervalo [-pi2, 5 pi2], onde f vale 1 .
(b) Seja p um polinômio de grau n ímpar. Então, para qualquer M in R, existe xM in R, tal que p(xM)=M.
[Dica: Divida a afirmação nos casos an>0 e an<0. Calcule os limites do polinômio em pm infty e lembre da definição destes limites]
(c) Seja f:[0,1] R uma função contínua, tal que 0 <= f(x) <= 1, para todo x in[0,1]. Então existe tildex in[0,1], tal que f(tildex)=tildex.
[Dica: Aplique um dos Teoremas citados à função g(x)=f(x)-x ]
(d) Seja f:[a, b] R uma função contínua, tal que f(a) <= a e f(b) >= b. Então existe tildex in[a, b], tal que f(tildex)=tildex.
[Dica: Use o mesmo raciocínio do item (c)]

Passo 1

O enunciado pede para justificar quatro afirmações usando o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário). Em cada caso vamos definir uma função contínua apropriada, mostrar que ela assume valores de sinais opostos (ou limites opostos), e então concluir pela existência de um ponto onde ela vale zero (ou atinge um valor desejado).

Passo 2

(a) Seja contínua em . Queremos mostrar que existem pelo menos três pontos em com . Defina
Note que
logo, por Bolzano, existe com . Analogamente,
dá um , e
dá um . Em cada caso , isto é, , totalizando pelo menos três soluções.

Passo 3

(b) Seja de grau ímpar ( , ímpar). Para qualquer considere
Como é ímpar, temos
ou seja, para algum grande e têm sinais opostos. Pelo Teorema de Bolzano existe com , ou seja, .

Passo 4

(c) Seja contínua com . Defina
Então
Como é contínua e muda de sinal, pelo Teorema de Bolzano existe com , isto é, .

Passo 5

(d) Seja contínua com e . Tome
Então
e pela mesma aplicação de Bolzano existe com , ou seja, .

Resposta

As afirmações (a), (b), (c) e (d) são verdadeiras por aplicação do Teorema de Bolzano/Valor Intermediário.

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