Os arames de aço BE e DF, com 25 mm de diâmetro ( \mathrm{E}=2 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ), estão esticados na ocasião da aplicação da força de 200 Kgf em C. Considerando a barra AD rígida, determinar:
a) A tensão em cada arame;
b) O deslocamento do ponto C .

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) A tensão em cada arame (BE e DF).
  • (b) O deslocamento vertical do ponto C.
Dados fornecidos (peguei estes valores da figura do enunciado):
  • Força aplicada em C: 200\\ \mathrm{Kgf}.
  • Distâncias ao longo da barra AD: AB=1{,}0\\ \mathrm{m}, BC=1{,}0\\ \mathrm{m}, CD=1{,}0\\ \mathrm{m}. Assim x_B=1{,}0\\ \mathrm{m}, x_C=2{,}0\\ \mathrm{m}, x_D=3{,}0\\ \mathrm{m} medidas a partir de A.
  • Comprimentos dos arames (peguei da figura): L_{BE}=0{,}4\\ \mathrm{m} e L_{DF}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro dos arames: 25\\ \mathrm{mm}.
  • Módulo de Young do aço: E=2\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • A barra AD é rígida e apoiada em A (pino na parede) — portanto A tem deslocamento vertical nulo e a barra pode rotacionar em torno de A.
    Observação de unidades: para usar E em \mathrm{Kgf/cm^{2}} vou converter comprimentos para \mathrm{cm} (1 m = 100 cm, 1 mm = 0,1 cm).

Passo 2

Ideia física e método que vou usar (sem resolver ainda):
  • A barra rígida gira em torno do pino em A por um pequeno ângulo \theta. O deslocamento vertical de qualquer ponto da barra a uma distância x de A é \delta(x)=\theta x (para pequenas rotações, sentido para baixo positivo).
  • Cada arame tem rigidez axial k=\dfrac{EA}{L}. Se um ponto da barra desce \delta, o arame se alonga \delta e gera uma tração T=k\delta.
  • Reações estáticas: equilíbrio de momentos em torno de A fornece relação entre as tensões dos arames e a carga em C. A compatibilidade (expressão das tensões em função de \theta) fornece \theta. Depois obtemos as tensões e o deslocamento em C.
  • Fórmulas que usarei: A=\frac{\pi d^{2}}{4},\quad k=\frac{EA}{L},\quad T=k\,\delta=k\,x\,\theta.Equilíbrio de momentos em A: T_B x_B + T_D x_D = P\,x_C.Substituindo T_B=k_B x_B\theta e T_D=k_D x_D\theta obtemos \theta\big(k_B x_B^{2}+k_D x_D^{2}\big)=P x_C.

Passo 3

Converter dados e calcular a área da seção dos arames:
  • Diâmetro d=25\\ \mathrm{mm}=2{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Raio r=1{,}25\\ \mathrm{cm}.
  • Área:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\pi (1{,}25)^{2}=\pi\cdot 1{,}5625\approx 4{,}9087\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 4

Converter comprimentos para \mathrm{cm} e definir posições:
  • L_{BE}=0{,}4\\ \mathrm{m}=40\\ \mathrm{cm}.
  • L_{DF}=0{,}5\\ \mathrm{m}=50\\ \mathrm{cm}.
  • x_B=1{,}0\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}.
  • x_C=2{,}0\\ \mathrm{m}=200\\ \mathrm{cm}.
  • x_D=3{,}0\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{cm}.
  • Força P=200\\ \mathrm{Kgf}.

Passo 5

Calcular as rigidezes axiais k_B e k_D:
  • Primeiro EA:
EA=E\cdot A=(2\times10^{6})\cdot 4{,}9087\approx 9{,}8174\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf}.
  • Então
k_B=\frac{EA}{L_{BE}}=\frac{9{,}8174\times10^{6}}{40}\approx 245{,}435\\ \mathrm{Kgf/cm},
k_D=\frac{EA}{L_{DF}}=\frac{9{,}8174\times10^{6}}{50}\approx 196{,}348\\ \mathrm{Kgf/cm}.

Passo 6

Montar a equação de compatibilidade + equilíbrio de momentos para obter \theta.
  • A equação (mostrada no Passo 2) é:
\theta\big(k_B x_B^{2}+k_D x_D^{2}\big)=P x_C.
Substituindo valores numéricos:
\theta\big(245{,}435\cdot 100^{2}+196{,}348\cdot 300^{2}\big)=200\cdot 200.
Calcule os termos:
245{,}435\cdot 100^{2}=245{,}435\cdot 10{,}000=2{,}454{,}350{,}000,
196{,}348\cdot 300^{2}=196{,}348\cdot 90{,}000=17{,}671{,}320{,}000.
Somando:
k_B x_B^{2}+k_D x_D^{2}=20{,}125{,}670{,}000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}.
Direito:
P x_C=200\cdot 200=40{,}000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}.
Logo
\theta=\frac{40{,}000}{20{,}125{,}670{,}000}\approx 1{,}988\times10^{-6}\quad(\text{rad, adimensional}).

Passo 7

Calcular as tensões T_B e T_D usando T=k x\theta:
T_B=k_B x_B \theta=245{,}435\cdot 100\cdot 1{,}988\times10^{-6}\approx 48{,}79\\ \mathrm{Kgf},
T_D=k_D x_D \theta=196{,}348\cdot 300\cdot 1{,}988\times10^{-6}\approx 117{,}21\\ \mathrm{Kgf}.
Verificação rápida (equilíbrio de momentos):
T_B x_B + T_D x_D \approx 48{,}79\cdot100 + 117{,}21\cdot300 =4{,}879 + 35{,}163\approx 40{,}042\\ \mathrm{Kgf\cdot cm},
valor muito próximo de 40{,}000 (diferença por arredondamento), ou seja consistente.

Passo 8

Calcular as tensões unitárias (esforço normal) em \mathrm{Kgf/cm^{2}}:
\sigma_B=\frac{T_B}{A}=\frac{48{,}79}{4{,}9087}\approx 9{,}94\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},
\sigma_D=\frac{T_D}{A}=\frac{117{,}21}{4{,}9087}\approx 23{,}89\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.

Passo 9

Calcular o deslocamento vertical do ponto C:
  • \delta_C=\theta x_C com x_C=200\\ \mathrm{cm}:
\delta_C=\theta\cdot 200=1{,}988\times10^{-6}\cdot 200=3{,}976\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}.
Converter para unidades mais usuais:
\delta_C=3{,}976\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}=3{,}976\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}=3{,}976\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}98\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

T_{BE}=48{,}79\\ \mathrm{Kgf}
T_{DF}=117{,}21\\ \mathrm{Kgf}
\sigma_{BE}=9{,}94\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
\sigma_{DF}=23{,}89\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
\delta_{C}=3{,}976\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}=3{,}976\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}98\\ \mu\mathrm{m}

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