A 800^{\circ} \mathrm{C}, 1 \mathrm{em} cada 10^{10} átomos possui energia apropriada para movimento no interior de um sólido e a 900^{\circ} \mathrm{C} esta razão passa a ser de 1 em cada 10^{9} átomos Qual é o valor da energia de ativação (Q) deste sistema em joule/átomo ?

Passo 1

O enunciado nos dá a fração de átomos com energia suficiente para se movimentar dentro do sólido a duas temperaturas diferentes. O conteúdo que vamos usar é a distribuição de Maxwell–Boltzmann, que diz que a fração f de átomos com energia maior que a energia de ativação Q é
f = \exp\!\bigl(-\tfrac{Q}{kT}\bigr),
onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Vamos usar isso para escrever duas equações em Q e depois resolver.

Passo 2

A 800^\circ\mathrm{C} ( T_{1}=800+273=1073\\ \mathrm{K}) a fração é
f_{1} = \frac{1}{10^{10}} = 10^{-10} = \exp\!\bigl(-\tfrac{Q}{k\,T_{1}}\bigr).
A 900^\circ\mathrm{C} ( T_{2}=900+273=1173\\ \mathrm{K}) a fração é
f_{2} = \frac{1}{10^{9}} = 10^{-9} = \exp\!\bigl(-\tfrac{Q}{k\,T_{2}}\bigr).

Passo 3

Dividindo f_{2} por f_{1} obtemos
\frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{10^{-9}}{10^{-10}} = 10 \quad\Longrightarrow\quad \exp\!\Bigl(-\tfrac{Q}{kT_{2}} + \tfrac{Q}{kT_{1}}\Bigr) = 10.
Tomando logaritmo natural,
Q\Bigl(\tfrac{1}{kT_{1}} - \tfrac{1}{kT_{2}}\Bigr) = \ln 10.

Passo 4

Reescrevendo
\tfrac{1}{kT_{1}} - \tfrac{1}{kT_{2}} = \tfrac{1}{k}\Bigl(\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}}\Bigr),
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Q = \frac{\ln 10}{\tfrac{1}{k}\bigl(\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}}\bigr)} = \frac{\ln 10\;k}{\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}}}.

Passo 5

Agora inserimos valores numéricos:
T_{1}=1073\\ \mathrm{K},\quad T_{2}=1173\\ \mathrm{K},\quad k=1{,}38\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Calculamos
\tfrac{1}{T_{1}} \approx 9{,}32\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1},\quad \tfrac{1}{T_{2}} \approx 8{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1},
\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}} \approx 7{,}95\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Então
Q \approx \frac{2{,}3026\,\times\,1{,}38\times10^{-23}}{7{,}95\times10^{-5}} \approx 4{,}0\times10^{-19}\\ \mathrm{J\\ por\\ átomo}.á

Resposta

Q \approx 4{,}0\times10^{-19}\\ \mathrm{J/átomo}.á

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