Em um determinado processo de cementação, obteve-se uma camada cementada, de espessura x, em aço Fe(CFC) no intervalo de tempo de 1 hora à uma temperatura de 820^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo será necessário para que se obtenha a mesma espessura de camada na temperatura de 850^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado diz que, a 820\circC, em 1 h obteve-se uma camada de cimentação de espessura x. Queremos o tempo t_{2} para obter a mesma espessura a 850\circC. O conteúdo é difusão em regime parabólico e a dependência da difusividade com a temperatura (lei de Arrhenius).

Passo 2

Em regime parabólico a espessura x satisfaz
x^{2}=4\,D\,t
onde D é o coeficiente de difusão. Como x é a mesma nos dois casos, tem-se
x^{2}=4\,D_{1}\,t_{1}=4\,D_{2}\,t_{2}
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\frac{t_{2}}{t_{1}}=\frac{D_{1}}{D_{2}}.

Passo 3

Pela lei de Arrhenius
D=D_{0}\exp\biggl(-\frac{Q}{R\,T}\biggr)
onde Q é a energia de ativação, R a constante dos gases e T em kelvins. Assim
\frac{D_{1}}{D_{2}} =\exp\Bigl(-\tfrac{Q}{R\,T_{1}}+\tfrac{Q}{R\,T_{2}}\Bigr) =\exp\!\Bigl(\tfrac{Q}{R}\bigl(\tfrac{1}{T_{2}}-\tfrac{1}{T_{1}}\bigr)\Bigr).
Então
t_{2} = t_{1}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{Q}{R}\bigl(\tfrac{1}{T_{2}}-\tfrac{1}{T_{1}}\bigr)\Bigr).

Passo 4

Substituindo t_{1}=1 h, T_{1}=820+273=1093 K, T_{2}=850+273=1123 K, escolhendo Q=1{,}40\times10^{5} J/mol e R=8{,}314 J/(mo l\cdot K):
\frac{Q}{R}\Bigl(\tfrac{1}{T_{2}}-\tfrac{1}{T_{1}}\Bigr) =\frac{1{,}40\times10^{5}}{8{,}314}\Bigl(\tfrac{1}{1123}-\tfrac{1}{1093}\Bigr) \approx -0{,}43.
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t_{2} =1\;\mathrm{h}\times e^{-0{,}43} \approx0{,}65\;\mathrm{h} \approx39\;\mathrm{min}.

Resposta

Demoram-se cerca de 39 min para obter a mesma espessura a 850\circC.

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