Um líquido escoa com velocidade V através de um orifício na lateral de um grande reservatório por um pequeno tubo. Se assume que \mathrm{V}=\mathrm{f}(\mathrm{h}, \rho, \sigma, \mathrm{g}), onde h é a profundidade do líquido acima do orificio, \rho é a massa específica do líquido, \sigma é a tensão superficial, g é a aceleração da gravidade e f representa a relação funcional entre as variáveis e parâmetros.
a- Demontre que os grupos adimensionales são \pi_{1}=V / \sqrt{g h} e \pi_{2}=\sigma /\left(\rho g h^{2}\right).
b- Os dados da tabela a seguir foram obtidos variando h e medindo V, com um fluido com \rho=103 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e tensão superficial \sigma=0,074 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Reescreva os dados da tabela abaixo na forma adimensional.
c- Grafique os dados de forma dimensional e adimensional.
d- A partir dos gráficos, que conclusão se pode obter?
\mathrm{V}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) 3,13 4,43 5,42 6,25 7,00
\mathrm{~h}(\mathrm{~m}) 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • O enunciado afirma que V=\mathrm{f}(h,\rho,\sigma,g).
  • Perguntas:
    • (a) Mostrar que os grupos adimensionais são \pi_{1}=V/\sqrt{g h} e \pi_{2}=\sigma/(\rho g h^{2}).
    • (b) Reescrever os dados da tabela na forma adimensional, usando \rho=103\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \sigma=0,074\\ \mathrm{N/m}.
    • (c) Grafique os dados de forma dimensional e adimensional.
    • (d) A partir dos gráficos, tirar uma conclusão.
  • Dados numéricos fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Valores medidos de V (m/s): 3,13,\;4,43,\;5,42,\;6,25,\;7,00.
    • Correspondentes profundidades h (m): 0,50,\;1,00,\;1,50,\;2,00,\;2,50.
    • Parâmetros: \rho=103\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \sigma=0,074\\ \mathrm{N/m}.
    • Tomarei g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração da gravidade).

Passo 2

Derivação didática dos grupos adimensionais (Buckingham Π na prática).
Ideia rápida: temos n=5 variáveis \{V,h,\rho,\sigma,g\} e três dimensões fundamentais M,L,T, logo devemos obter n-k=2 grupos adimensionais.
Método direto e muito pedagógico: construir combinações sem dimensão.
  1. Proponho procurar um grupo envolvendo V e potências de g e h (mais simples): suponha
\Pi_1 = \frac{V}{g^{a} h^{b}}.
Comparar dimensões: dimensão de V é [L\,T^{-1}]. Dimensão de g^{a} h^{b} é [L\,T^{-2}]^{a}[L]^{b} = L^{a+b} T^{-2a}.
Para que \Pi_1 seja adimensional devemos ter exponenetes que satisfaçam
a+b = 1,\qquad -2a = -1.
Da segunda equação vem a=\tfrac{1}{2}. Logo b=1-a=\tfrac{1}{2}. Portanto
\Pi_1=\frac{V}{g^{1/2}h^{1/2}}=\frac{V}{\sqrt{g h}}.
Isso prova a forma de \pi_1.
  1. Agora um grupo que envolva a tensão superficial \sigma. Note que \sigma tem dimensão de força por comprimento: [\sigma]=\mathrm{N/m}=[M\,T^{-2}]. Uma combinação natural é
\Pi_2=\frac{\sigma}{\rho\,g\,h^{2}}.
Verificação de dimensões:
  • [\rho g h^{2}] = [M L^{-3}]\,[L T^{-2}]\,[L^{2}] = M\,T^{-2},
  • [\sigma]=M\,T^{-2}.
Portanto \Pi_2 é adimensional. Assim os dois grupos adimensionais independentes são
\Pi_1=\frac{V}{\sqrt{g h}},\qquad \Pi_2=\frac{\sigma}{\rho g h^{2}}.
Comentário físico curto (útil para prova): \Pi_1 compara a velocidade com a velocidade característica gravitacional \sqrt{g h}. \Pi_2 compara efeitos da tensão superficial com efeitos gravitacionais associados a comprimento h.

Passo 3

Cálculo passo a passo dos valores adimensionais para cada ponto experimental.
Fórmulas que vou usar (já derivadas):
\Pi_1=\frac{V}{\sqrt{g h}},\qquad \Pi_2=\frac{\sigma}{\rho g h^{2}}.
Usarei g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}, \rho=103\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \sigma=0,074\\ \mathrm{N/m}.
Vou calcular para cada linha da tabela. Para facilitar, primeiro calculo \sqrt{g h}.
  • Para h=0,50\\ \mathrm{m}: g h = 9,81\times 0,50 = 4,905, \qquad \sqrt{g h}=\sqrt{4,905}=2,214\\ (\text{m/s}).
\Pi_1=\frac{3,13}{2,214}=1,4138\approx1,414.
\rho g h^{2}=103\times 9,81\times(0,50)^{2}=103\times 9,81\times 0,25=252,6075,
\Pi_2=\frac{0,074}{252,6075}=0,0002929\approx2,93\times10^{-4}.
  • Para h=1,00\\ \mathrm{m}: g h = 9,81\times 1,00 = 9,81, \qquad \sqrt{g h}=3,132\\ (\text{m/s}).
\Pi_1=\frac{4,43}{3,132}=1,4143\approx1,414.
\rho g h^{2}=103\times 9,81\times 1^{2}=1010,43,
\Pi_2=\frac{0,074}{1010,43}=0,00007325\approx7,33\times10^{-5}.
  • Para h=1,50\\ \mathrm{m}: g h = 9,81\times 1,50 = 14,715, \qquad \sqrt{g h}=3,836\\ (\text{m/s}).
\Pi_1=\frac{5,42}{3,836}=1,4129\approx1,413.
\rho g h^{2}=103\times 9,81\times(1,50)^{2}=103\times 9,81\times 2,25=2273,4675,
\Pi_2=\frac{0,074}{2273,4675}=0,00003254\approx3,25\times10^{-5}.
  • Para h=2,00\\ \mathrm{m}: g h = 9,81\times 2,00 = 19,62, \qquad \sqrt{g h}=4,431\\ (\text{m/s}).
\Pi_1=\frac{6,25}{4,431}=1,4108\approx1,411.
\rho g h^{2}=103\times 9,81\times(2,00)^{2}=103\times 9,81\times 4=4041,72,
\Pi_2=\frac{0,074}{4041,72}=0,00001831\approx1,83\times10^{-5}.
  • Para h=2,50\\ \mathrm{m}: g h = 9,81\times 2,50 = 24,525, \qquad \sqrt{g h}=4,952\\ (\text{m/s}).
\Pi_1=\frac{7,00}{4,952}=1,4136\approx1,414.
\rho g h^{2}=103\times 9,81\times(2,50)^{2}=103\times 9,81\times 6{,}25=6315{,}1875,
\Pi_2=\frac{0,074}{6315{,}1875}=0,00001172\approx1,17\times10^{-5}.
Resumo numérico (arredondado a 3 casas significativas quando adequado):
  • h=0,50\\ \mathrm{m}:\\ \Pi_1=1,414,\\ \Pi_2=2,93\times10^{-4}.
  • h=1,00\\ \mathrm{m}:\\ \Pi_1=1,414,\\ \Pi_2=7,33\times10^{-5}.
  • h=1,50\\ \mathrm{m}:\\ \Pi_1=1,413,\\ \Pi_2=3,25\times10^{-5}.
  • h=2,00\\ \mathrm{m}:\\ \Pi_1=1,411,\\ \Pi_2=1,83\times10^{-5}.
  • h=2,50\\ \mathrm{m}:\\ \Pi_1=1,414,\\ \Pi_2=1,17\times10^{-5}.
Observação prática: os valores de \Pi_1 são todos muito próximos de 1{,}414, i.e. próxima de \sqrt{2}\approx1{,}4142.

Passo 4

Como grafar (passo a passo, para você fazer rapidamente na prova ou num software):
  1. Gráfico dimensional:
    • Eixo horizontal: h (m).
    • Eixo vertical: V (m/s).
    • Plote os pares (0,50,\,3,13),\;(1,00,\,4,43),\;(1,50,\,5,42),\;(2,00,\,6,25),\;(2,50,\,7,00).
    • Alternativa muito informativa: plotar V contra \sqrt{g h}. Nesse caso os pontos devem ficar quase sobre uma reta passando pela origem; a inclinação dessa reta é C tal que V=C\sqrt{g h}. Com os dados aqui C\approx1{,}413.
  2. Gráfico adimensional:
    • Eixo horizontal: \Pi_2=\sigma/(\rho g h^{2}) (adimensional).
    • Eixo vertical: \Pi_1=V/\sqrt{g h} (adimensional).
    • Plote os pares (\Pi_2,\Pi_1) calculados no Passo 3:
      • (2,93\times10^{-4},\;1,414),
      • (7,33\times10^{-5},\;1,414),
      • (3,25\times10^{-5},\;1,413),
      • (1,83\times10^{-5},\;1,411),
      • (1,17\times10^{-5},\;1,414).
    • Use escala logarítmica horizontal se quiser evidenciar a variação pequena de \Pi_2.
Se estiver usando papel: para o gráfico adimensional você verá praticamente uma nuvem de pontos horizontais muito próxima de \Pi_1\approx1{,}414. No gráfico dimensional, ao plotar V versus \sqrt{g h} aparecerá uma reta quase perfeita passando pela origem com coeficiente angular \approx1{,}413.

Passo 5

Interpretação e conclusão (o que se conclui a partir dos gráficos e dos números):
  • Os valores de \Pi_1 são praticamente constantes (média \overline{\Pi_1}\approx1{,}413), ou seja V\approx 1{,}413\sqrt{g h}.
  • O valor 1{,}413 é muito próximo de \sqrt{2}\approx1{,}4142. Portanto os dados seguem a lei de Torricelli para um jorro ideal: V\approx\sqrt{2 g h}.
  • Os valores de \Pi_2 são muito pequenos (entre 1{,}17\times10^{-5} e 2{,}93\times10^{-4}), indicando que os efeitos de tensão superficial são desprezíveis nas condições experimentais. Em linguagem prática: a dinâmica está dominada por gravidade e inércia, não por forças capilares.
  • Conclusão operacional: os dados colapsam bem numa relação adimensional constante \Pi_1 para a faixa de \Pi_2 observada; portanto pode-se usar a lei V=C\sqrt{g h} com C\approx\sqrt{2} para prever V nesse regime.

Resposta

(a) \displaystyle \pi_{1}=\frac{V}{\sqrt{g h}}\quad\text{e}\quad \displaystyle \pi_{2}=\frac{\sigma}{\rho g h^{2}}.
(b) Valores adimensionais calculados (cada linha: h em m; \pi_1; \pi_2):
  • h=0{,}50:\\ \pi_1=1{,}414,\\ \pi_2=2{,}93\times10^{-4}.
  • h=1{,}00:\\ \pi_1=1{,}414,\\ \pi_2=7{,}33\times10^{-5}.
  • h=1{,}50:\\ \pi_1=1{,}413,\\ \pi_2=3{,}25\times10^{-5}.
  • h=2{,}00:\\ \pi_1=1{,}411,\\ \pi_2=1{,}83\times10^{-5}.
  • h=2{,}50:\\ \pi_1=1{,}414,\\ \pi_2=1{,}17\times10^{-5}.
(c) Gráficos recomendados para construir:
  • Dimensional: plote V versus h (ou melhor: V versus \sqrt{g h}); os pontos seguem uma reta V\approx 1{,}413\sqrt{g h}.
  • Adimensional: plote \pi_1 versus \pi_2; os pontos ficam praticamente alinhados horizontalmente em \pi_1\approx1{,}414.
(d) Conclusão: \pi_1 é praticamente constante e igual a \sqrt{2}; os efeitos de tensão superficial ( \pi_2) são negligíveis na faixa estudada. Logo V\approx\sqrt{2 g h} descreve bem o escoamento.

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