Para estudar a perda de pressão em um conduto circular, sob pressão, de diâmetro D, fez-se a análise dimensional com as variáveis envolvidas e achou-se :
\frac{\Delta p_{L} D}{\rho U^{2}}=f\left(\operatorname{Re}, \frac{e}{D}\right),
onde \Delta p_{L}=\Delta p / L (queda de pressão por unidade de comprimento do conduto),
U = velocidade média do escoamento no conduto,
R e=\frac{\rho \cdot U \cdot D}{\mu}, número de Reynolds,
\mathrm{e}= espessura das rugosidades da parede do conduto.
Um teste foi realizado num escoamento de gasolina ( \mathrm{d}=0,68, \mu=2,9 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} /(\mathrm{ms}) ), em um conduto de 25 mm de diâmetro, comprimento L de 100 m e velocidade \mathrm{U}=0,729 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e mediu-se uma queda de pressão total ( \Delta p \mathrm{p} ) de 16172 Pa .
Baseado nestes dados, pede-se :
a- Qual deve ser a velocidade em um escoamento de óleo ( \mathrm{d}=0,912, \mu=7,18 x 10^{-3} \mathrm{~kg} /(\mathrm{ms}) ), num conduto de 500 mm de diâmetro, para que haja semelhança dinâmica com o teste realizado ?
b- Nas condições de semelhança, qual será a perda de pressão no conduto de óleo se este tem um comprimento de 1550 m ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Relação adimensional que vale para o problema:
\frac{\Delta p_{L}\,D}{\rho U^{2}}=f\!\left(\mathrm{Re},\frac{e}{D}\right),
onde \Delta p_{L}=\dfrac{\Delta p}{L} (queda de pressão por unidade de comprimento), U = velocidade média, \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U D}{\mu}, \rho = densidade, \mu = viscosidade dinâmica, e = espessura das rugosidades.
Caso-teste (gasolina):
  • \rho_{\text{g}}=0{,}68 (unidade indicada no enunciado; vou assumir que isto significa 0{,}68\\ \mathrm{g/cm^{3}}, i.e. \rho_{\text{g}}=0{,}68\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=680\\ \mathrm{kg/m^{3}}),
  • \mu_{\text{g}}=2{,}9\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/(m\;s)},
  • D_{1}=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m},
  • L_{1}=100\\ \mathrm{m},
  • U_{1}=0{,}729\\ \mathrm{m/s},
  • queda total medida \Delta p_{1}=16172\\ \mathrm{Pa} (logo \Delta p_{L1}=\dfrac{16172}{100}=161{,}72\\ \mathrm{Pa/m}).
Situação desejada (óleo):
  • \rho_{\text{o}}=0{,}912 (assumo 0{,}912\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=912\\ \mathrm{kg/m^{3}}),
  • \mu_{\text{o}}=7{,}18\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\;s)},
  • D_{2}=500\\ \mathrm{mm}=0{,}5\\ \mathrm{m},
  • L_{2}=1550\\ \mathrm{m}.
O que pede:
(a) calcular U_{2} para que haja semelhança dinâmica com o ensaio (i.e. mesmos parâmetros adimensionais relevantes);
(b) com essa condição de semelhança, calcular a perda de pressão total no conduto de óleo de comprimento L_{2}=1550\\ \mathrm{m}.
Observação importante (informação usada sem perguntar): para garantir semelhança dinâmica devemos igualar os argumentos da função f, ou seja, igualar \mathrm{Re} e \dfrac{e}{D}. O enunciado não dá e, então adotarei a hipótese de simetria geométrica do modelo: a razão \dfrac{e}{D} é a mesma nos dois condutos (por exemplo, rugosidade escalada geometricamente). Assim basta igualar \mathrm{Re}. Se a rugosidade absoluta fosse igual e não escalada, não seria possível igualar \dfrac{e}{D} entre diâmetros diferentes; como o enunciado pede semelhança dinâmica, vou usar a hipótese usual de semelhança geométrica (mesmo e/D).

Passo 2

Breve aula sobre semelhança dinâmica e número de Reynolds (do jeito mais prático):
  • O número de Reynolds \mathrm{Re} mede a razão entre forças de inércia e forças viscosas no escoamento. A fórmula é
\mathrm{Re}=\frac{\rho U D}{\mu},
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • U é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • D é o diâmetro do conduto ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg/(m\;s)}).
  • Para semelhança dinâmica quando a perda de carga depende de \mathrm{Re} e de e/D, é necessário que os dois ensaios tenham os mesmos valores de \mathrm{Re} e de e/D. Então, sob a hipótese adotada acima (mesmo e/D), basta igualar \mathrm{Re} entre caso-teste e caso protótipo.
  • Uma vez igualada a função adimensional, o fator adimensional f será o mesmo nos dois casos:
f = \frac{\Delta p_{L}\,D}{\rho U^{2}}
é um número adimensional que depende de \mathrm{Re} e e/D. Assim podemos calcular f a partir do ensaio com gasolina e aplicar para calcular \Delta p no ensaio com óleo sabendo U_{2}, \rho_{2}, D_{2} e L_{2}.
Agora aplicamos isto aos dados.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds do ensaio com gasolina (substituindo na fórmula de \mathrm{Re}):
\mathrm{Re}_{1}=\frac{\rho_{\text{g}}\,U_{1}\,D_{1}}{\mu_{\text{g}}}.
Substituindo os valores (todos em SI):
\mathrm{Re}_{1}=\frac{680\cdot 0{,}729\cdot 0{,}025}{2{,}9\times10^{-4}}.
Cálculo passo a passo:
0{,}729\cdot 0{,}025 = 0{,}018225,
680\cdot 0{,}018225 = 12{,}393,
\mathrm{Re}_{1}=\frac{12{,}393}{2{,}9\times10^{-4}} \approx 4{,}2734\times10^{4}.
Portanto
\mathrm{Re}_{1}\approx 4{,}27\times10^{4}.

Passo 4

Igualar \mathrm{Re}_{2}=\mathrm{Re}_{1} e resolver para U_{2}. A partir de \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U D}{\mu} temos
U_{2}=\frac{\mathrm{Re}_{1}\,\mu_{2}}{\rho_{2}\,D_{2}}.
Substituindo os números:
U_{2}=\frac{4{,}2734\times10^{4}\cdot 7{,}18\times10^{-3}}{912\cdot 0{,}5}.
Cálculo passo a passo:
4{,}2734\times10^{4}\cdot 7{,}18\times10^{-3} \approx 306{,}834\quad(\text{produto numericamente}),
912\cdot 0{,}5 = 456,
U_{2}=\frac{306{,}834}{456}\approx 0{,}6727\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável:
U_{2}\approx 0{,}673\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação: para manter o mesmo regime dinâmico na tubulação maior com óleo mais viscoso e mais denso, a velocidade média precisa ser um pouco menor que no ensaio com gasolina.)

Passo 5

Calcular o fator adimensional f a partir do ensaio com gasolina, usando
f=\frac{\Delta p_{L1}\,D_{1}}{\rho_{\text{g}}\,U_{1}^{2}}.
Primeiro \Delta p_{L1}=\dfrac{\Delta p_{1}}{L_{1}}=\dfrac{16172}{100}=161{,}72\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora substituímos:
f=\frac{161{,}72\cdot 0{,}025}{680\cdot (0{,}729)^{2}}.
Cálculo passo a passo:
161{,}72\cdot 0{,}025 = 4{,}043,
(0{,}729)^{2}=0{,}531441,
680\cdot 0{,}531441 = 361{,}37988,
f=\frac{4{,}043}{361{,}37988}\approx 0{,}01119.
Portanto
f\approx 0{,}01119.

Passo 6

Calcular a perda de pressão no conduto de óleo nas condições de semelhança. Primeiro a queda por unidade de comprimento no caso 2 é
\Delta p_{L2}=\frac{f\,\rho_{2}\,U_{2}^{2}}{D_{2}}.
Substituindo f, \rho_{2}, U_{2}, D_{2}:
\Delta p_{L2}=\frac{0{,}01119\cdot 912\cdot (0{,}6727)^{2}}{0{,}5}.
Cálculo passo a passo:
(0{,}6727)^{2}\approx 0{,}45250,
912\cdot 0{,}45250 \approx 412{,}677,
0{,}01119\cdot 412{,}677 \approx 4{,}6167,
\Delta p_{L2}=\frac{4{,}6167}{0{,}5}=9{,}2334\\ \mathrm{Pa/m}.
A queda total ao longo de L_{2}=1550\\ \mathrm{m} é
\Delta p_{2}=\Delta p_{L2}\cdot L_{2}=9{,}2334\cdot 1550\approx 14{,}312\\ \mathrm{Pa}.
Assim, em ordens de grandeza, a perda total de pressão será cerca de 1{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Resumo numérico (valores apresentados com arredondamento razoável):
  • velocidade exigida no conduto de óleo para manter semelhança dinâmica: U_{2}\approx 0{,}673\\ \mathrm{m/s};
  • perda de pressão total no conduto de óleo de 1550\\ \mathrm{m} nessa condição: \Delta p_{2}\approx 1{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Observação final e incentivo: a chave foi entender que a semelhança dinâmica exige igualdade dos números adimensionais; por não ter sido dado e, adotei semelhança geométrica (mesmo e/D). Se a rugosidade absoluta tivesse sido constante entre os tubos, o e/D mudaria e esse procedimento não garantiria semelhança completa. Mas com a hipótese adotada os passos acima são a maneira padrão de resolver o exercício — você está indo muito bem ao pedir para destrinchar isso passo a passo!

Resposta

U_{2}\approx 0{,}673\\ \mathrm{m/s}
\Delta p_{2}\approx 1{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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