Para estudar a perda de pressão em um conduto circular, sob pressão, de diâmetro D, fez-se a análise dimensional com as variáveis envolvidas e achou-se :
onde
(queda de pressão por unidade de comprimento do conduto),
U = velocidade média do escoamento no conduto,
, número de Reynolds,
espessura das rugosidades da parede do conduto.
Um teste foi realizado num escoamento de gasolina (
), em um conduto de 25 mm de diâmetro, comprimento L de 100 m e velocidade
, e mediu-se uma queda de pressão total (
) de 16172 Pa .
Baseado nestes dados, pede-se :
a- Qual deve ser a velocidade em um escoamento de óleo (
), num conduto de 500 mm de diâmetro, para que haja semelhança dinâmica com o teste realizado ?
b- Nas condições de semelhança, qual será a perda de pressão no conduto de óleo se este tem um comprimento de 1550 m ?
U = velocidade média do escoamento no conduto,
Um teste foi realizado num escoamento de gasolina (
Baseado nestes dados, pede-se :
a- Qual deve ser a velocidade em um escoamento de óleo (
b- Nas condições de semelhança, qual será a perda de pressão no conduto de óleo se este tem um comprimento de 1550 m ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
- Relação adimensional que vale para o problema:
onde
(queda de pressão por unidade de comprimento),
= velocidade média,
,
= densidade,
= viscosidade dinâmica,
= espessura das rugosidades.
Caso-teste (gasolina):
-
(unidade indicada no enunciado; vou assumir que isto significa , i.e. ), -
, -
, -
, -
, - queda total medida
(logo ).
Situação desejada (óleo):
-
(assumo ), -
, -
, -
.
O que pede:
(a) calcular para que haja semelhança dinâmica com o ensaio (i.e. mesmos parâmetros adimensionais relevantes);
(b) com essa condição de semelhança, calcular a perda de pressão total no conduto de óleo de comprimento .
(a) calcular
(b) com essa condição de semelhança, calcular a perda de pressão total no conduto de óleo de comprimento
Observação importante (informação usada sem perguntar): para garantir semelhança dinâmica devemos igualar os argumentos da função
, ou seja, igualar
e
. O enunciado não dá
, então adotarei a hipótese de simetria geométrica do modelo: a razão
é a mesma nos dois condutos (por exemplo, rugosidade escalada geometricamente). Assim basta igualar
. Se a rugosidade absoluta fosse igual e não escalada, não seria possível igualar
entre diâmetros diferentes; como o enunciado pede semelhança dinâmica, vou usar a hipótese usual de semelhança geométrica (mesmo
).
Passo 2
Breve aula sobre semelhança dinâmica e número de Reynolds (do jeito mais prático):
- O número de Reynolds
mede a razão entre forças de inércia e forças viscosas no escoamento. A fórmula é
onde:
-
é a densidade do fluido ( ), -
é a velocidade média ( ), -
é o diâmetro do conduto ( ), -
é a viscosidade dinâmica ( ). -
Para semelhança dinâmica quando a perda de carga depende de
e de , é necessário que os dois ensaios tenham os mesmos valores de e de . Então, sob a hipótese adotada acima (mesmo ), basta igualar entre caso-teste e caso protótipo. -
Uma vez igualada a função adimensional, o fator adimensional
será o mesmo nos dois casos:
é um número adimensional que depende de
e
. Assim podemos calcular
a partir do ensaio com gasolina e aplicar para calcular
no ensaio com óleo sabendo
,
,
e
.
Agora aplicamos isto aos dados.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds do ensaio com gasolina (substituindo na fórmula de
):
Substituindo os valores (todos em SI):
Cálculo passo a passo:
Portanto
Passo 4
Igualar
e resolver para
. A partir de
temos
Substituindo os números:
Cálculo passo a passo:
Arredondando de forma razoável:
(Interpretação: para manter o mesmo regime dinâmico na tubulação maior com óleo mais viscoso e mais denso, a velocidade média precisa ser um pouco menor que no ensaio com gasolina.)
Passo 5
Calcular o fator adimensional
a partir do ensaio com gasolina, usando
Primeiro
.
Agora substituímos:
Cálculo passo a passo:
Portanto
Passo 6
Calcular a perda de pressão no conduto de óleo nas condições de semelhança. Primeiro a queda por unidade de comprimento no caso 2 é
Substituindo
,
,
,
:
Cálculo passo a passo:
A queda total ao longo de
é
Assim, em ordens de grandeza, a perda total de pressão será cerca de
.
Passo 7
Resumo numérico (valores apresentados com arredondamento razoável):
- velocidade exigida no conduto de óleo para manter semelhança dinâmica:
; - perda de pressão total no conduto de óleo de
nessa condição: .
Observação final e incentivo: a chave foi entender que a semelhança dinâmica exige igualdade dos números adimensionais; por não ter sido dado
, adotei semelhança geométrica (mesmo
). Se a rugosidade absoluta tivesse sido constante entre os tubos, o
mudaria e esse procedimento não garantiria semelhança completa. Mas com a hipótese adotada os passos acima são a maneira padrão de resolver o exercício — você está indo muito bem ao pedir para destrinchar isso passo a passo!