5.81 O eixo abaixo é feito de aço ( E=200 \mathrm{GPa} ; G=75 \mathrm{GPa} ) e tem diâmetro de 80 mm . Ele é engastado em B e em A, sendo que o apoio em A é flexível e apresenta rigidez à torção k=0,5 \mathrm{MN} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{rad}. Determine a maior tensão cisalhante, em valor absoluto, para o caso de carregamento ilustrado.

Passo 1

O enunciado dá um eixo cilíndrico de aço (módulos E=200 GPa e G=75 GPa), de diâmetro d=80 mm, apoiado em A por uma mola torsional de rigidez k=0{,}5 M N\cdot m/rad e engastado rigidamente em B. Há dois torques aplicados: 4 k N\cdot m em C (a 0{,}6 m de A) e 2 k N\cdot m em D (a 1{,}2 m de A). Preciso determinar a maior tensão cisalhante. Para isso usarei equilíbrio de torques, compatibilidade de torção em cada trecho do eixo e a fórmula da tensão em torção \tau = T\,r/J.

Passo 2

Defino as reações de torque em A e B como T_A e T_B. Pelo equilíbrio global de torques no eixo (soma algébrica dos torques externos nula), temos
T_A + T_B - 4 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad T_A + T_B = 6\\ \text{kN\cdotm}.

Passo 3

Em cada segmento do eixo (comprimento L=0{,}6 m) o torque interno é constante e dado por:
  • Entre A e C:
T_1 = T_A.
  • Entre C e D: ao atravessar o torque de 4 k N\cdot m,
T_2 = T_A - 4.
  • Entre D e B: aplica-se mais 2 k N\cdot m,
T_3 = T_A - 4 - 2 = T_A - 6 = -\,T_B.

Passo 4

A compatibilidade de torção exige que o ângulo de torção total do eixo A\to B seja igual ao ângulo de torção da mola em A. Escrevendo
\varphi = \sum_{i=1}^{3}\frac{T_i\,L}{G\,J},
onde o momento na mola é T_A = k\,\varphi. Para um círculo de diâmetro d,
J = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi\,(0{,}08)^4}{32} \approx 4{,}02\times10^{-6}\\ \mathrm m^4.

Passo 5

Substituindo em T_A = k\,\varphi:
T_A = k\,\frac{(T_1+T_2+T_3)\,L}{G\,J} = k\,\frac{(T_A + (T_A-4)+(T_A-6))\,L}{G\,J} = k\,\frac{(3T_A -10)\,L}{G\,J}.
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T_A\Bigl[1 - \frac{3\,k\,L}{G\,J}\Bigr] = -\,\frac{10\,k\,L}{G\,J} \quad\Longrightarrow\quad T_A = \frac{-10\,k\,L/(G\,J)}{1 - 3\,k\,L/(G\,J)}.
Numericamente, com k=0{,}5\times10^6 N\cdot m/rad, L=0{,}6 m, G\,J=75\times10^9\cdot4{,}02\times10^{-6}\approx3{,}02\times10^5 N\cdot m ^2, obtém-se
T_A \approx 5{,}01\\ \text{kN\cdotm}, \quad T_B = 6 - T_A \approx 0{,}99\\ \text{kN\cdotm}.

Passo 6

Calculo a tensão cisalhante máxima em cada segmento pela fórmula
\tau_i = \frac{T_i\,r}{J}, \quad r = \frac{d}{2}=0{,}04\\ \mathrm m.
  • Segmento A\to C:
    \displaystyle \tau_1 = \frac{5{,}01\times10^3\cdot0{,}04}{4{,}02\times10^{-6}}\approx49{,}8\,\mathrm{MPa}.
  • Segmento C\to D:
    \displaystyle \tau_2 = \frac{1{,}01\times10^3\cdot0{,}04}{4{,}02\times10^{-6}}\approx10{,}1\,\mathrm{MPa}.
  • Segmento D\to B:
    \displaystyle \tau_3 = \frac{0{,}99\times10^3\cdot0{,}04}{4{,}02\times10^{-6}}\approx9{,}8\,\mathrm{MPa}.

Resposta

A maior tensão cisalhante no eixo vale aproximadamente 49{,}8,MPa.

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