3.4-6 Dois eixos constituídos de um mesmo material são ilustrados abaixo. O primeiro é constituído por dois segmentos com seção transversal circular cheia. O segundo apresenta seção transversal circular vazada com diâmetro externo
e espessura
. Assumindo que os dois eixos devem apresentar a mesma rigidez à torção, determine o diâmetro externo do segundo eixo.
Passo 1
O enunciado dá um eixo composto em série por dois trechos cilíndricos maciços de mesmo material:
– trecho 1: comprimento e diâmetro externo
,
– trecho 2: comprimento e diâmetro externo
.
O segundo eixo (de comprimento total ) é oco, com diâmetro externo
e espessura
.
Queremos que os dois eixos tenham a mesma rigidez à torção, isto é, para um dado torque apresentem o mesmo ângulo total de torção
.
– trecho 1: comprimento
– trecho 2: comprimento
O segundo eixo (de comprimento total
Queremos que os dois eixos tenham a mesma rigidez à torção, isto é, para um dado torque
Passo 2
Para um eixo de módulo de cisalhamento
e polar momento de inércia
, a torção produz um ângulo
No caso do eixo maciço em série, o ângulo total é
Para o eixo oco equivalente de mesmo comprimento
e momento de inércia
,
Igualando os dois ângulos (mesma rigidez) e cancelando
, obtemos
Passo 3
Os momentos de inércia polares dos trechos maciços são
Para o eixo oco de diâmetros externo
e interno
,
Passo 4
Igualando as expressões para
e cancelando o fator
, chega-se a
Passo 5
Substituindo
,
,
,
,
:
Fazendo a raiz quártica,
Resposta
O diâmetro externo do eixo oco deve ser aproximadamente
.