3.4-6 Dois eixos constituídos de um mesmo material são ilustrados abaixo. O primeiro é constituído por dois segmentos com seção transversal circular cheia. O segundo apresenta seção transversal circular vazada com diâmetro externo d e espessura d / 10. Assumindo que os dois eixos devem apresentar a mesma rigidez à torção, determine o diâmetro externo do segundo eixo.

Passo 1

O enunciado dá um eixo composto em série por dois trechos cilíndricos maciços de mesmo material:
– trecho 1: comprimento L_1=1{,}2\\ \mathrm{m} e diâmetro externo d_1=80\\ \mathrm{mm},
– trecho 2: comprimento L_2=0{,}9\\ \mathrm{m} e diâmetro externo d_2=60\\ \mathrm{mm}.
O segundo eixo (de comprimento total L=L_1+L_2=2{,}1\\ \mathrm{m}) é oco, com diâmetro externo d e espessura t=d/10.
Queremos que os dois eixos tenham a mesma rigidez à torção, isto é, para um dado torque T apresentem o mesmo ângulo total de torção \varphi.

Passo 2

Para um eixo de módulo de cisalhamento G e polar momento de inércia J, a torção produz um ângulo
\varphi \;=\;\frac{T\,L}{G\,J}\,.
No caso do eixo maciço em série, o ângulo total é
\varphi \;=\;\frac{T}{G}\Bigl(\frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2}\Bigr).
Para o eixo oco equivalente de mesmo comprimento L e momento de inércia J_{\rm eq},
\varphi \;=\;\frac{T\,L}{G\,J_{\rm eq}}.
Igualando os dois ângulos (mesma rigidez) e cancelando T/G, obtemos
\frac{L}{J_{\rm eq}} \;=\; \frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2} \quad\Longrightarrow\quad J_{\rm eq} \;=\; \frac{L}{\displaystyle \frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2}}.

Passo 3

Os momentos de inércia polares dos trechos maciços são
J_1 = \frac{\pi\,d_1^4}{32}, \qquad J_2 = \frac{\pi\,d_2^4}{32}.
Para o eixo oco de diâmetros externo d e interno d_i = d - 2t = d - 2\,(d/10) = 0{,}8\,d,
J_{\rm eq} = \frac{\pi}{32}\bigl(d^4 - d_i^4\bigr) = \frac{\pi}{32}\bigl(d^4 - (0{,}8\,d)^4\bigr) = \frac{\pi}{32}\,(1 - 0{,}8^4)\,d^4 = \frac{\pi}{32}\,(0{,}5904)\,d^4.

Passo 4

Igualando as expressões para J_{\rm eq} e cancelando o fator \pi/32, chega-se a
\frac{L}{\displaystyle \frac{L_1}{d_1^4} + \frac{L_2}{d_2^4}} \;=\; 0{,}5904\,d^4 \quad\Longrightarrow\quad d^4 \;=\; \frac{L}{0{,}5904\,\bigl(\frac{L_1}{d_1^4} + \frac{L_2}{d_2^4}\bigr)}.

Passo 5

Substituindo L=2{,}1\\ \mathrm{m}, L_1=1{,}2\\ \mathrm{m}, L_2=0{,}9\\ \mathrm{m}, d_1=0{,}08\\ \mathrm{m}, d_2=0{,}06\\ \mathrm{m}:
\frac{L_1}{d_1^4} = \frac{1{,}2}{(0{,}08)^4}\approx 2{,}93\times10^{4}, \quad \frac{L_2}{d_2^4} = \frac{0{,}9}{(0{,}06)^4}\approx 6{,}94\times10^{4},
\sum = 9{,}87\times10^{4}, \quad d^4 = \frac{2{,}1}{0{,}5904\times9{,}87\times10^{4}} \approx 3{,}60\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
Fazendo a raiz quártica,
d \approx (3{,}60\times10^{-5})^{1/4} \approx 0{,}0775\\ \mathrm{m} = 77{,}5\\ \mathrm{mm}.

Resposta

O diâmetro externo do eixo oco deve ser aproximadamente 77{,}5\\ \mathrm{mm}.

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