Um Apoio A é utilizado para suportar Elemento B que está sujeito a uma força de compressão boldsymbol{P}=\mathbf{2 , 8 k N}. Se o Apoio A e o Elemento B são feitos de Carvalho Branco, ambos com espessura boldsymbol{t}=\mathbf{4 0 m m} e utilizando um fator de segurança de 1,5 .
Determine a altura boldsymbol{h} do Elemento boldsymbol{B} considerando o limite de resistência à compressão de 51MPa;

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a altura h do elemento B.
Dados fornecidos:
P = 2,8\\ \text{kN}
t = 40\\ \text{mm}
\text{fator de segurança } FS = 1,5ç
\text{limite de resistência à compressão } \sigma_{\text{lim}} = 51\\ \text{MPa}êàã
Observação do enunciado (não resolve ainda): o elemento B está submetido à compressão P e tem seção transversal retangular de base igual à espessura t e altura h (ou seja, área A = t\cdot h). A solução pedida é h.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: tensão de compressão média.
Definição: a tensão média de compressão \sigma em uma seção é dada por
\sigma = \frac{P}{A},
onde
P
é a força de compressão (em N) e
A
é a área da seção (em mm ^2 se usarmos N e MPa/N·mm^{-2}).
No nosso caso, como a seção é retangular com espessura t e altura h,
A = t\cdot h.
Explicando as variáveis:
  • P é a força aplicada (em N).
  • A é a área resistente (em mm ^2 ou m ^2, desde que sejamos consistentes).
  • t é a espessura conhecida (em mm).
  • h é a altura que queremos achar (em mm).

Passo 3

Como usamos fator de segurança, não podemos utilizar diretamente \sigma_{\text{lim}}. Devemos calcular a tensão admissível (ou tensão de projeto) dividindo o limite pelo fator de segurança:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_{\text{lim}}}{FS}.
Aplicando os números:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{51\\ \text{MPa}}{1,5}.
Calculando:
\sigma_{\text{adm}} = 34\\ \text{MPa}.
Observação sobre unidades: 1\\ \text{MPa} = 1\\ \text{N}/\text{mm}^2, então podemos interpretar 34\\ \text{MPa} = 34\\ \text{N}/\text{mm}^2.

Passo 4

Relacionando tensão admissível com a força e a área:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{P}{A} = \frac{P}{t\cdot h}.
Isolando h:
h = \frac{P}{\sigma_{\text{adm}}\cdot t}.
Essa fórmula é a que usaremos: força dividida pela tensão admissível e pela espessura.

Passo 5

Converter unidades para aplicar a fórmula de forma direta e sem erro:
  • Converter P para newtons:
P = 2,8\\ \text{kN} = 2800\\ \text{N}.
  • Manter \sigma_{\text{adm}} em \text{N}/\text{mm}^2:
\sigma_{\text{adm}} = 34\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Manter t em mm:
t = 40\\ \text{mm}.
Assim, ao usar P em N, \sigma_{\text{adm}} em N/mm ^2 e t em mm, o resultado para h sai em mm.

Passo 6

Aplicando a fórmula numérica passo a passo:
Calcular o produto do denominador:
\sigma_{\text{adm}}\cdot t = 34\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\times 40\\ \text{mm} = 1360\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}}.
Agora:
h = \frac{P}{\sigma_{\text{adm}}\cdot t} = \frac{2800\\ \text{N}}{1360\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}}}.
Fazendo a divisão:
h = 2,058823529\\ \text{mm}\approx 2,06\\ \text{mm}.
Também em metros:
h \approx 0,00206\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretação rápida (motivo de eu comentar, como amigo): o valor obtido é pequeno (cerca de 2,06\\ \text{mm}). Isso vem do fato de que a resistência admissível é alta ( 34\\ \text{MPa}) comparada com a força pequena ( 2,8\\ \text{kN}) e a espessura 40\\ \text{mm}. Se na prática você esperava uma altura maior, verifique se a área resistente realmente é t\cdot h ou se há outros fatores geométricos (por exemplo, se a carga é distribuída por uma base maior, ou se a espessura t foi interpretada de maneira diferente). Mas seguindo os dados tal qual fornecidos, esse é o resultado correto.

Resposta

h=2,06\\ \text{mm}

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