2.84 Uma força F de intensidade 1200 N atua na origem de um sistema de coordenadas. Sabendo que thetax=65^circ, thetay=40^circ e Fz>0, determine (a) os componentes da força, (b) o angulo thetaz.

Passo 1

O enunciado dá uma força de módulo ,F=1200 N aplicada na origem e informa os ângulos de direção com os eixos x e y, ou seja thetax=65^circ e thetay=40^circ, além de assegurar que a componente Fz é positiva. O conteúdo principal aqui é o uso de cosenos diretores em três dimensões, que satisfazem
cos^2thetax+cos^2thetay+cos^2thetaz=1
e permitem obter cada componente pela projeção
Fi = Fcosthetai, i=x,y,z

Passo 2

As componentes Fx e Fy são obtidas diretamente pelas projeções de F nos eixos x e y, isto é
Fx = Fcosthetax, Fy = Fcosthetay

Passo 3

Substituindo F=1200 N, thetax=65^circ e thetay=40^circ, calculamos
Fx = 1200cos(65^circ)approx 1200times0,4226 = 507,1 N,
Fy = 1200cos(40^circ)approx 1200times0,7660 = 919,2 N

Passo 4

Para achar Fz usamos a relação dos cossenos diretores:
cos^2thetaz = 1 - cos^2thetax - cos^2thetay
Como costhetax=0,4226 e costhetay=0,7660, temos
cos^2thetaz = 1 - (0,4226)^2 - (0,7660)^2 approx 1 - 0,1786 - 0,5868 = 0,2346,
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costhetaz = raiz0,2346approx0,4843,
e a componente
Fz = Fcosthetaz = 1200times0,4843 approx 581,2 N

Passo 5

Finalmente, o ângulo thetaz é dado por
thetaz = arccos(costhetaz) =arccos(0,4843)approx61,1^circ

Resposta

Fxapprox507,1 N, Fyapprox919,2 N, Fzapprox581,2 N
thetazapprox61,1^circ

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