83 Uma força imprime a um objeto de massa m_{1} uma aceleração de 12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a um objeto de massa m_{2} uma aceleração de 3,30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Que aceleração essa mesma força imprimiria a um objeto de massa (a) m_{1} m_{2} e (b) m_{2}+m_{1} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Informação 1: Uma força (chame-a de F) imprime a um objeto de massa m_{1} uma aceleração de 12,0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Ou seja, m_{1} e 12,0\\ \mathrm{m/s^{2}} estão relacionados.
  • Informação 2: A mesma força F imprime a um objeto de massa m_{2} uma aceleração de 3,30\\ \mathrm{m/s^{2}}. Ou seja, m_{2} e 3,30\\ \mathrm{m/s^{2}} também estão relacionados.
  • Pergunta (a): Que aceleração essa mesma força imprimiria a um objeto de massa m_{1}m_{2} (ou seja, a massa igual ao produto m_{1}\times m_{2})?
  • Pergunta (b): Que aceleração essa mesma força imprimiria a um objeto de massa m_{2}+m_{1} (ou seja, a soma das duas massas)?
Nada mais é pedido. Não usei nem inventei informação adicional além do que o enunciado forneceu.

Passo 2

Vamos escrever a relação fundamental que liga força, massa e aceleração (a fórmula que precisamos manipular). Escrevo-a sem yet explicar o nome: a relação é
F = m\,a.
Aqui cada símbolo significa:
  • F é a força aplicada (em newtons, \mathrm{N});
  • m é a massa do objeto (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • a é a aceleração resultante (em metros por segundo ao quadrado, \mathrm{m/s^{2}}).
Aplicando essa relação aos dois casos dados:
F = m_{1}\,a_{1}\quad\text{com}\quad a_{1}=12,0\\ \mathrm{m/s^{2}},
F = m_{2}\,a_{2}\quad\text{com}\quad a_{2}=3,30\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Essas duas equações nos permitem expressar m_{1} e m_{2} em função de F e dos a's:
m_{1}=\frac{F}{a_{1}},\qquad m_{2}=\frac{F}{a_{2}}.

Passo 3

Agora calculamos a aceleração quando a massa for o produto m_{1}m_{2}.
A aceleração que a mesma força F imprime a uma massa qualquer m é
a=\frac{F}{m}.
Se m=m_{1}m_{2}, então
a_{\text{prod}}=\frac{F}{m_{1}m_{2}}.
Substituindo as expressões de m_{1} e m_{2} em termos de F e dos a's:
m_{1}m_{2}=\frac{F}{a_{1}}\cdot\frac{F}{a_{2}}=\frac{F^{2}}{a_{1}a_{2}}.
Logo
a_{\text{prod}}=\frac{F}{\dfrac{F^{2}}{a_{1}a_{2}}}=\frac{a_{1}a_{2}}{F}.
Isso também pode ser escrito em formas equivalentes úteis:
a_{\text{prod}}=\frac{a_{1}}{m_{2}}=\frac{a_{2}}{m_{1}}=\frac{a_{1}a_{2}}{F}.
Observação importante (essencial para a prova): essa expressão contém F (ou alternativamente m_{1} ou m_{2}) no denominador, e o enunciado não fornece o valor numérico de F nem de m_{1} ou m_{2} separadamente. Portanto NÃO É POSSÍVEL determinar numericamente a_{\text{prod}} apenas com os dados fornecidos. Podemos, porém, escrever a forma numérica parcial substituindo a_{1} e a_{2}:
a_{\text{prod}}=\frac{12,0\times 3,30}{F}=\frac{39,6}{F}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Sem saber F (ou m_{1} ou m_{2}), essa fração não se resolve para um número.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração quando a massa for a soma m_{1}+m_{2}.
Usamos novamente a=F/m. Com m=m_{1}+m_{2} temos
a_{\text{soma}}=\frac{F}{m_{1}+m_{2}}.
Substituo m_{1}=\dfrac{F}{a_{1}} e m_{2}=\dfrac{F}{a_{2}}:
m_{1}+m_{2}=\frac{F}{a_{1}}+\frac{F}{a_{2}}=F\!\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right).
Portanto
a_{\text{soma}}=\frac{F}{F\!\left(\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}\right)}=\frac{1}{\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}}.
Essa é uma forma muito prática: a aceleração para a massa soma é o inverso da soma dos inversos das acelerações individuais. Podemos reescrever como produto sobre soma:
a_{\text{soma}}=\frac{a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}.
Agora substituo os valores numéricos a_{1}=12,0 e a_{2}=3,30:
a_{\text{soma}}=\frac{12,0\times 3,30}{12,0+3,30}=\frac{39,6}{15,3}.
Para facilitar sem calculadora, multiplico numerador e denominador por 10:
\frac{39,6}{15,3}=\frac{396}{153}.
Divido ambos por 3:
\frac{396}{153}=\frac{132}{51}.
Divido novamente por 3:
\frac{132}{51}=\frac{44}{17}.
Logo o valor exato é \dfrac{44}{17}\\ \mathrm{m/s^{2}}. Em decimal,
\frac{44}{17}\approx 2,588235\ldots\\ \mathrm{m/s^{2}},
arredondando a dois algarismos significativos (compatível com os dados iniciais) fica 2,59\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Resumo rápido de “como fazer na prova” (dica amiga): sempre comece escrevendo F=ma nos casos dados para achar expressões de m em função de F e a. Para massas combinadas, substitua e manipule algebricamente; frequentemente as F se cancelam na soma de massas (como no caso (b)), mas não se cancelam quando a massa for o produto (caso (a)), então preste atenção a isso. Você já fez certinho: para soma deu uma expressão só em a_{1} e a_{2}; para produto sobrou F no resultado, então precisa de mais informação para um número.

Resposta

(a) a_{\text{prod}}=\dfrac{a_{1}a_{2}}{F}=\dfrac{39,6}{F}\\ \mathrm{m/s^{2}} (não é possível obter um valor numérico sem conhecer F ou uma das massas m_{1} ou m_{2}).
(b) a_{\text{soma}}=\dfrac{a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}=\dfrac{44}{17}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 2,59\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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