A energia potencial devido a interação de van der Waals entre dois átomos é dada por
, onde
é a distância entre os centros de massa de dois átomos,
é a distância de equilíbrio entre os centros e
é uma constante com unidade de joule. Mostre que quando o módulo do deslocamento
a partir da posição de equilíbrio for pequeno:
(a) A energia potencial pode ser escrita como
, onde
. (2,0 ponto)
(b) Suponha que a molécula diatômica é formada por dois átomos argônio
. Considere o valor da massa átomo de argônio
e o valor de
. Calcule a frequência das oscilações átomos em torno da posição de equilíbrio. (1,0 ponto)
(a) A energia potencial pode ser escrita como
(b) Suponha que a molécula diatômica é formada por dois átomos argônio
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial de interação de van der Waals entre dois átomos:
onde
é a distância entre os centros,
é a posição de equilíbrio,
tem unidade de joule. Pede-se:
(a) mostrar que, para deslocamentos pequenos em torno de
, a energia pode ser escrita como
e encontrar
, mostrando que
.
(b) para usar a massa atômica dada
e
e calcular a frequência das oscilações dos átomos em torno da posição de equilíbrio.
(a) mostrar que, para deslocamentos pequenos
(b) para
As informações relevantes listadas: expressão de
, equilíbrio em
, definição do deslocamento
tal que
, valores numéricos para a parte (b).
Passo 2
Conceito e estratégia para (a): quando o deslocamento
é pequeno comparado a
(isto é,
), podemos aproximar
usando a expansão de Taylor em torno de
ou, equivalentemente, usar a expansão binomial para potências
com
. Lembrete rápido da expansão binomial para
com
:
Aqui usamos
.
Passo 3
Aplicando a expansão binomial aos termos que aparecem em
. Primeiro escrevemos
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituímos essas aproximações em
:
Note que os termos lineares em
cancelaram, como esperado em torno de uma posição de equilíbrio (onde a derivada primeira é zero).]
Passo 5
Multiplicando por
obtemos a forma aproximada:
Comparando com a forma harmônica
, identificamos
Assim mostramos a forma pedida
com
dado acima.
Comentário didático curto: alternativamente, poderíamos obter
calculando a segunda derivada
e avaliando em
, pois no mínimo de potencial
e a expansão de Taylor dá
. Fazendo isso (derivando a expressão original) chega-se ao mesmo
.
Passo 6
Parte (b): frequência das pequenas oscilações. Para a coordenada relativa entre dois átomos idênticos, o sistema efetivo tem massa reduzida
onde
é a massa de cada átomo. A frequência angular das pequenas oscilações é
A frequência (em hertz) é
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
e
.
Calculamos primeiro :
Calculamos primeiro
Em seguida a frequência
:
Resposta
(a)
com
(b)
(b)