A energia potencial devido a interação de van der Waals entre dois átomos é dada por U=U_{o}\left[\left(R_{o} / r\right)^{12}-2\left(R_{o} / r\right)^{6}\right], onde r é a distância entre os centros de massa de dois átomos, r=R_{o} é a distância de equilíbrio entre os centros e U_{o} é uma constante com unidade de joule. Mostre que quando o módulo do deslocamento x a partir da posição de equilíbrio for pequeno:
(a) A energia potencial pode ser escrita como U \approx \frac{1}{2} k x^{2}-U_{o}, onde k=72 U_{o} / R_{o}^{2}. (2,0 ponto)
(b) Suponha que a molécula diatômica é formada por dois átomos argônio \mathrm{Ar}_{2}. Considere o valor da massa átomo de argônio m=6.63 \times 10^{-23} \mathrm{~kg} e o valor de k=0,829 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Calcule a frequência das oscilações átomos em torno da posição de equilíbrio. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de interação de van der Waals entre dois átomos:
U = U_{o}\left[\left(\frac{R_{o}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{R_{o}}{r}\right)^{6}\right],
onde r é a distância entre os centros, r=R_{o} é a posição de equilíbrio, U_{o} tem unidade de joule. Pede-se:
(a) mostrar que, para deslocamentos pequenos x em torno de r=R_{o}, a energia pode ser escrita como \;U \approx \tfrac{1}{2}k x^{2} - U_{o}\; e encontrar k, mostrando que k = \dfrac{72 U_{o}}{R_{o}^{2}}.
(b) para \mathrm{Ar}_{2} usar a massa atômica dada \;m = 6{,}63\times 10^{-23}\\ \mathrm{kg}\; e k = 0{,}829\\ \mathrm{N/m} e calcular a frequência das oscilações dos átomos em torno da posição de equilíbrio.
As informações relevantes listadas: expressão de U(r), equilíbrio em r=R_{o}, definição do deslocamento x tal que r = R_{o} + x, valores numéricos para a parte (b).

Passo 2

Conceito e estratégia para (a): quando o deslocamento x é pequeno comparado a R_{o} (isto é, |x|\ll R_{o}), podemos aproximar U(r) usando a expansão de Taylor em torno de r=R_{o} ou, equivalentemente, usar a expansão binomial para potências \left(\dfrac{R_{o}}{r}\right)^{n} com r=R_{o}+x. Lembrete rápido da expansão binomial para (1+y)^{-n} com |y|\ll1:
(1+y)^{-n} \approx 1 - n y + \frac{n(n+1)}{2}y^{2} + \cdots.
Aqui usamos y = \dfrac{x}{R_{o}}.

Passo 3

Aplicando a expansão binomial aos termos que aparecem em U. Primeiro escrevemos
\left(\frac{R_{o}}{r}\right)^{n} = \left(1+\frac{x}{R_{o}}\right)^{-n}.
Para n=12:
\left(\frac{R_{o}}{r}\right)^{12} \approx 1 - 12\frac{x}{R_{o}} + \frac{12\cdot 13}{2}\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2} = 1 - 12\frac{x}{R_{o}} + 78\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2}.
Para n=6:
\left(\frac{R_{o}}{r}\right)^{6} \approx 1 - 6\frac{x}{R_{o}} + \frac{6\cdot 7}{2}\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2} = 1 - 6\frac{x}{R_{o}} + 21\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2}.

Passo 4

Substituímos essas aproximações em U:
\begin{aligned} \frac{U}{U_{o}} &\approx \left[1 - 12\frac{x}{R_{o}} + 78\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2}\right] - 2\left[1 - 6\frac{x}{R_{o}} + 21\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2}\right]\\[4pt] &= 1 - 12\frac{x}{R_{o}} + 78\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2} - 2 + 12\frac{x}{R_{o}} - 42\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2}\\[4pt] &= -1 + 36\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2}. \end{aligned}
Note que os termos lineares em x cancelaram, como esperado em torno de uma posição de equilíbrio (onde a derivada primeira é zero).]

Passo 5

Multiplicando por U_{o} obtemos a forma aproximada:
U \approx -U_{o} + 36\,U_{o}\left(\frac{x}{R_{o}}\right)^{2} = -U_{o} + \frac{1}{2}\left(72\frac{U_{o}}{R_{o}^{2}}\right)x^{2}.
Comparando com a forma harmônica \;U \approx \tfrac{1}{2}k x^{2} + \text{constante}\;, identificamos
k = \frac{72\,U_{o}}{R_{o}^{2}}.
Assim mostramos a forma pedida \;U \approx \tfrac{1}{2}k x^{2} - U_{o}\; com k dado acima.
Comentário didático curto: alternativamente, poderíamos obter k calculando a segunda derivada U''(r) e avaliando em r=R_{o}, pois no mínimo de potencial U'(R_{o})=0 e a expansão de Taylor dá U(R_{o}+x)\approx U(R_{o})+\tfrac{1}{2}U''(R_{o})x^{2}. Fazendo isso (derivando a expressão original) chega-se ao mesmo k=U''(R_{o})=72U_{o}/R_{o}^{2}.

Passo 6

Parte (b): frequência das pequenas oscilações. Para a coordenada relativa entre dois átomos idênticos, o sistema efetivo tem massa reduzida
\mu = \frac{m}{2},
onde m é a massa de cada átomo. A frequência angular das pequenas oscilações é
\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{k}{m/2}} = \sqrt{\frac{2k}{m}}.
A frequência (em hertz) é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}.

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos: k = 0{,}829\\ \mathrm{N/m} e m = 6{,}63\times 10^{-23}\\ \mathrm{kg}.
Calculamos primeiro \omega:
\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}829}{6{,}63\times 10^{-23}}} = \sqrt{2{,}5015\times 10^{22}} \approx 1{,}58\times 10^{11}\\ \mathrm{rad/s}.
Em seguida a frequência f:
f = \frac{\omega}{2\pi} \approx \frac{1{,}58\times 10^{11}}{2\pi} \approx 2{,}52\times 10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) \;U \approx \dfrac{1}{2}k x^{2} - U_{o} com \;k = \dfrac{72\,U_{o}}{R_{o}^{2}}.
(b) \;f \approx 2{,}52\times 10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

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