\left(0,5\right. ponto) Sendo a posição dada r(\vec{t})=b t^{2} \hat{\boldsymbol{\imath}}+c t^{3} \hat{\boldsymbol{\jmath}}, onde b e c são constantes positivas. a) Quais as dimensões de b e c ? b) quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45^{\circ} com os eixos 0 x e 0 y ? c) Qual será a posição da partícula nesse instante de tempo? Utilize para b=5,0 e c=2,0

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
\mathbf{r}(t)=b\,t^{2}\,\hat{\mathbf{i}}+c\,t^{3}\,\hat{\mathbf{j}},
onde b e c são constantes positivas. As perguntas são:
(a) Quais as dimensões de b e c?
(b) Quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45^\circ com os eixos 0x e 0y?
(c) Qual será a posição da partícula nesse instante, usando b=5,0 e c=2,0?
Informações relevantes dadas: a posição tem dimensão de comprimento; t é o tempo; b,c>0. Não há mais dados numéricos além de b e c para a última parte.

Passo 2

Dimensões — ideia e aplicação. A dimensão (unidade fundamental) de \mathbf{r}(t) é comprimento, que chamamos de \mathrm{L}. A dimensão do tempo é \mathrm{T}. Quando escrevemos b\,t^{2} a expressão inteira deve ter dimensão de comprimento, então:
[b]\,[t^{2}]=[L].
Como [t^{2}]=[T^{2}], isolamos [b]:
[b]=[L]\,[T^{-2}].
Analogamente, para o termo c\,t^{3} temos:
[c]\,[t^{3}]=[L]\quad\Rightarrow\quad [c]=[L]\,[T^{-3}].
Interpretação física rápida: [b] tem a mesma dimensão de aceleração ( \mathrm{L\,T^{-2}}) e [c] é \mathrm{L\,T^{-3}} (comprimento por tempo ao cubo).

Passo 3

Velocidade e condição de 45^\circ. A velocidade é a derivada temporal de \mathbf{r}(t). Lembrete prático: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}. Aplicando:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=2b\,t\,\hat{\mathbf{i}}+3c\,t^{2}\,\hat{\mathbf{j}}.
O ângulo \theta entre \mathbf{v} e o eixo x satisfaz \tan\theta=\dfrac{v_{y}}{v_{x}}. Para \theta=45^\circ temos \tan45^\circ=1, logo a condição é
v_{y}=v_{x}.
Substituindo componentes:
3c\,t^{2}=2b\,t.
Resolvendo:
t\,(3c\,t-2b)=0.
As soluções são t=0 e t=\dfrac{2b}{3c}. A solução t=0 corresponde à partícula em repouso instantâneo (ambos componentes nulos) e não dá um ângulo bem definido no sentido usual, então tomamos
t=\frac{2b}{3c}.

Passo 4

Valor numérico do tempo com b=5,0 e c=2,0. Substituindo:
t=\frac{2\cdot 5,0}{3\cdot 2,0}=\frac{10,0}{6,0}=\frac{5}{3}\\ \text{(unidades de tempo)}\approx 1,666\ldots
(ou seja t=\dfrac{5}{3}\,\mathrm{s} se estivermos em unidades SI). Verificação rápida (opcional de confiança): calcule v_{x}=2b t e v_{y}=3c t^{2} numericamente para confirmar que são iguais:
v_{x}=2\cdot 5,0\cdot \frac{5}{3}=\frac{50}{3},\qquad v_{y}=3\cdot 2,0\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{50}{3},
portanto igualidade confirmada.

Passo 5

Posição no instante encontrado — expressão algébrica. Substituímos t=\dfrac{2b}{3c} em \mathbf{r}(t). Primeiro calculamos simbolicamente:
x=b\,t^{2}=b\left(\frac{2b}{3c}\right)^{2}=b\cdot\frac{4b^{2}}{9c^{2}}=\frac{4b^{3}}{9c^{2}},
y=c\,t^{3}=c\left(\frac{2b}{3c}\right)^{3}=c\cdot\frac{8b^{3}}{27c^{3}}=\frac{8b^{3}}{27c^{2}}.
Logo
\mathbf{r}\!\left(\frac{2b}{3c}\right)=\frac{4b^{3}}{9c^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{8b^{3}}{27c^{2}}\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 6

Posição numérica com b=5,0 e c=2,0. Primeiro calcule b^{3} e c^{2}:
b^{3}=5,0^{3}=125,0,\qquad c^{2}=2,0^{2}=4,0.
Substituindo nas expressões:
x=\frac{4\cdot 125,0}{9\cdot 4,0}=\frac{500,0}{36,0}=\frac{125}{9}\approx 13,888\ldots,
y=\frac{8\cdot 125,0}{27\cdot 4,0}=\frac{1000,0}{108,0}=\frac{250}{27}\approx 9,259\ldots.
Portanto, em unidades métricas (se b e c estiverem no SI), a posição é aproximadamente
\mathbf{r}\approx 13{,}888\\ \hat{\mathbf{i}}+9{,}259\\ \hat{\mathbf{j}}\\ \text{(m)}.

Resposta

(a) [b]=\mathrm{L\,T^{-2}},\quad [c]=\mathrm{L\,T^{-3}}
(b) t=\dfrac{2b}{3c}=\dfrac{5}{3} (para b=5{,}0,\;c=2{,}0, isto é aproximadamente 1{,}666\ldots)
(c) \mathbf{r}\!\left(\dfrac{2b}{3c}\right)=\dfrac{4b^{3}}{9c^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{8b^{3}}{27c^{2}}\,\hat{\mathbf{j}} \Rightarrow para b=5{,}0,\;c=2{,}0: \mathbf{r}=\dfrac{125}{9}\,\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{250}{27}\,\hat{\mathbf{j}}\approx 13{,}888\,\hat{\mathbf{i}}+9{,}259\,\hat{\mathbf{j}}.

Exercícios relacionados