ponto) Sendo a posição dada
, onde b e c são constantes positivas. a) Quais as dimensões de
e
? b) quando o vetor velocidade faz um ângulo de
com os eixos 0 x e 0 y ? c) Qual será a posição da partícula nesse instante de tempo? Utilize para
e
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
onde
e
são constantes positivas. As perguntas são:
(a) Quais as dimensões de e
?
(b) Quando o vetor velocidade faz um ângulo de com os eixos
e
?
(c) Qual será a posição da partícula nesse instante, usando e
?
(a) Quais as dimensões de
(b) Quando o vetor velocidade faz um ângulo de
(c) Qual será a posição da partícula nesse instante, usando
Informações relevantes dadas: a posição tem dimensão de comprimento;
é o tempo;
. Não há mais dados numéricos além de
e
para a última parte.
Passo 2
Dimensões — ideia e aplicação. A dimensão (unidade fundamental) de
é comprimento, que chamamos de
. A dimensão do tempo é
. Quando escrevemos
a expressão inteira deve ter dimensão de comprimento, então:
Como
, isolamos
:
Analogamente, para o termo
temos:
Interpretação física rápida:
tem a mesma dimensão de aceleração (
) e
é
(comprimento por tempo ao cubo).
Passo 3
Velocidade e condição de
. A velocidade é a derivada temporal de
. Lembrete prático:
. Aplicando:
O ângulo
entre
e o eixo
satisfaz
. Para
temos
, logo a condição é
Substituindo componentes:
Resolvendo:
As soluções são
e
. A solução
corresponde à partícula em repouso instantâneo (ambos componentes nulos) e não dá um ângulo bem definido no sentido usual, então tomamos
Passo 4
Valor numérico do tempo com
e
. Substituindo:
(ou seja
se estivermos em unidades SI). Verificação rápida (opcional de confiança): calcule
e
numericamente para confirmar que são iguais:
portanto igualidade confirmada.
Passo 5
Posição no instante encontrado — expressão algébrica. Substituímos
em
. Primeiro calculamos simbolicamente:
Logo
Passo 6
Posição numérica com
e
. Primeiro calcule
e
:
Substituindo nas expressões:
Portanto, em unidades métricas (se
e
estiverem no SI), a posição é aproximadamente
Resposta
(a)
(b) (para
, isto é aproximadamente
)
(c)
para
:
.
(b)
(c)