P5.83 Uma haste é feita de dois segmentos: A B de aço e B C de latāo. Ela está fixa em suas extremidades e sujeita a um torque T=680 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}. Considerando que a porção de aço tem diâmetro de 30 mm , determine o diâmetro necessário à porção de latão de modo que as reações nas paredes sejam as mesmas. G_{\text {aço }}=75 \mathrm{GPa}ç, G_{\text {latio }}=39 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado descreve uma barra composta por dois trechos em série sob torção: o trecho AB de aço (diâmetro d_A=30\text{ mm}, módulo de cisalhamento G_A=75\text{ GPa}) e o trecho BC de latão (módulo G_B=39\text{ GPa}), ambas as extremidades A e C estão engastadas, e há um torque aplicado T=680\text{ N\cdotm} em B. Queremos escolher o diâmetro d_B do latão de modo que as reações de torque nas paredes A e C sejam iguais. O conteúdo envolvido é tortão de eixos em série, usando equilíbrio de torques e compatibilidade de ângulos de torção.

Passo 2

Chame de T_A a reação em A e de T_C a reação em C. Pelo equilíbrio em B vale
T_A + T_C = T.
Como queremos T_A=T_C, segue
T_A = T_C = \frac{T}{2}.

Passo 3

A compatibilidade de torção exige que o ângulo de torção no aço seja igual ao ângulo de torção no latão:
\theta_{AB} \;=\;\theta_{BC}.
Usando \theta = \dfrac{T\,L}{G\,J} e J=\dfrac{\pi d^4}{32}, para os dois trechos temos
\frac{T_A\,L_A}{G_A\,J_A} \;=\; \frac{T_C\,L_C}{G_B\,J_B}.

Passo 4

Substituindo T_A=T_C e supondo comprimentos iguais L_A=L_C (caso contrário seria preciso os comprimentos numéricos), obtemos
\frac{1}{G_A\,J_A} \;=\; \frac{1}{G_B\,J_B} \quad\Longrightarrow\quad G_B\,J_A \;=\; G_A\,J_B.
Como J\propto d^4, isto é
G_B\,d_A^4 \;=\; G_A\,d_B^4 \quad\Longrightarrow\quad d_B^4 = d_A^4\,\frac{G_B}{G_A} \quad\Longrightarrow\quad d_B = d_A\Bigl(\frac{G_B}{G_A}\Bigr)^{1/4}.

Passo 5

Substituindo d_A=30\text{ mm}, G_A=75\text{ GPa} e G_B=39\text{ GPa}:
d_B = 30\;\biggl(\frac{39}{75}\biggr)^{1/4}\text{ mm} \approx 30\,(0,52)^{1/4}\text{ mm} \approx 25{,}5\text{ mm}.

Resposta

O diâmetro necessário para o trecho de latão é aproximadamente 25{,}5\text{ mm}.

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