3.83 A load of 5000 N resulted in a static displacement of 0.05 m in a composite structure. A harmonic force of amplitude 1000 N is found to cause a resonant amplitude of 0.1 m . Find (a) the hysteresis-damping constant of the structure, (b) the energy dissipated per cycle at resonance, (c) the steady-state amplitude at one-quarter of the resonant frequency, and (d) the steady-state amplitude at thrice the resonant frequency.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas: (a) o coeficiente de amortecimento por histerese da estrutura, (b) a energia dissipada por ciclo em ressonância, (c) a amplitude em regime permanente quando a frequência é um quarto da de ressonância, e (d) a amplitude em regime permanente quando a frequência é três vezes a de ressonância.
As informações fornecidas são:
Uma carga estática
produz um deslocamento estático
.
Uma força harmônica de amplitude
produz, em ressonância, uma amplitude máxima de
.
Não há outras informações explícitas (por ex. massa), mas essas são suficientes para obter a rigidez e usar o modelo de amortecimento por histerese.
As informações fornecidas são:
Não há outras informações explícitas (por ex. massa), mas essas são suficientes para obter a rigidez e usar o modelo de amortecimento por histerese.
Passo 2
Primeiro calculamos a rigidez estática
. Para um sistema linear elástico, a lei de Hooke relaciona força e deslocamento estático por
Aqui
é a força estática (
),
é o deslocamento estático (
) e
é a rigidez (em
). Então
Ou seja,
Passo 3
Agora precisamos do coeficiente de amortecimento por histerese. Vou primeiro explicar o modelo e derivar a fórmula que usaremos.
No modelo de amortecimento por histerese (também chamado de amortecimento estrutural), a rigidez é tratada como um número complexo:
onde
é o coeficiente de histerese (adimensional, chamado também de loss factor) e
é a unidade imaginária. Fisicamente,
mede a fração da energia armazenada que é dissipada por ciclo.
Para uma resposta harmônica
a uma força harmônica de amplitude
e frequência
, a equação em domínio de frequência é
A frequência natural não amortecida satisfaz
. Em ressonância tomamos
, então
e a parte real se anula, sobrando apenas a parte imaginária:
Tomando módulo, a amplitude na ressonância é
Esta fórmula é muito prática: em histerese, a amplitude em ressonância é determinada pela razão entre amplitude da força e o termo dissipativo
.
Agora isolamos
:
Substituindo os valores dados:
,
,
,
Logo o coeficiente de histerese é
(adimensional).
Passo 4
Agora calculamos a energia dissipada por ciclo em ressonância. Vou explicar a relação usada.
Para amortecimento por histerese, o trabalho dissipado por ciclo
está relacionado ao fator de perda
e à energia potencial máxima armazenada
pela fórmula
A energia potencial máxima de um oscilador linear é a energia elástica no pico:
onde
é a amplitude. Então
Em ressonância usamos
,
e
. Assim
Calcule passo a passo:
Numericamente
.
Passo 5
Agora precisamos da amplitude em regime permanente para uma frequência arbitrária. Vou derivar a fórmula prática e depois aplicá-la a
.
Partindo da expressão complexa já dada,
escrevemos a parte real e imaginária em função da razão adimensional
. Como
, a rigidez efetiva complexa normalizada por
é
. Assim o módulo da rigidez complexa é
Portanto a amplitude é
Agora aplicamos para
. Calculamos passo a passo:
-
-
-
-
- Soma:
- Raiz:
- Multiplica por
: - Finalmente
Portanto a amplitude para
é aproximadamente
.
Passo 6
Agora repetimos o mesmo para
(três vezes a frequência de ressonância).
Cálculos passo a passo:
-
-
-
-
- Soma:
- Raiz:
- Multiplica por
: - Amplitude:
Arredondando razoavelmente,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)