3.83 A load of 5000 N resulted in a static displacement of 0.05 m in a composite structure. A harmonic force of amplitude 1000 N is found to cause a resonant amplitude of 0.1 m . Find (a) the hysteresis-damping constant of the structure, (b) the energy dissipated per cycle at resonance, (c) the steady-state amplitude at one-quarter of the resonant frequency, and (d) the steady-state amplitude at thrice the resonant frequency.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: (a) o coeficiente de amortecimento por histerese da estrutura, (b) a energia dissipada por ciclo em ressonância, (c) a amplitude em regime permanente quando a frequência é um quarto da de ressonância, e (d) a amplitude em regime permanente quando a frequência é três vezes a de ressonância.
As informações fornecidas são:
Uma carga estática \,5000\\ \text{N}\, produz um deslocamento estático \,0,05\\ \text{m}\,.
Uma força harmônica de amplitude \,1000\\ \text{N}\, produz, em ressonância, uma amplitude máxima de \,0,1\\ \text{m}\,.
Não há outras informações explícitas (por ex. massa), mas essas são suficientes para obter a rigidez e usar o modelo de amortecimento por histerese.

Passo 2

Primeiro calculamos a rigidez estática k. Para um sistema linear elástico, a lei de Hooke relaciona força e deslocamento estático por
F_{\text{est}} = k \, \delta_{\text{est}}.
Aqui F_{\text{est}} é a força estática ( 5000\\ \text{N}), \delta_{\text{est}} é o deslocamento estático ( 0,05\\ \text{m}) e k é a rigidez (em \text{N}/\text{m}). Então
k = \frac{F_{\text{est}}}{\delta_{\text{est}}} = \frac{5000}{0,05} = 100000\\ \text{N}/\text{m}.
Ou seja, \,k = 1{,}0\times 10^{5}\\ \text{N}/\text{m}.

Passo 3

Agora precisamos do coeficiente de amortecimento por histerese. Vou primeiro explicar o modelo e derivar a fórmula que usaremos.
No modelo de amortecimento por histerese (também chamado de amortecimento estrutural), a rigidez é tratada como um número complexo:
k_{\text{complexo}} = k\,(1 + i\eta),
onde \eta é o coeficiente de histerese (adimensional, chamado também de loss factor) e i é a unidade imaginária. Fisicamente, \eta mede a fração da energia armazenada que é dissipada por ciclo.
Para uma resposta harmônica X a uma força harmônica de amplitude F_0 e frequência \omega, a equação em domínio de frequência é
\bigl(-m\omega^2 + k(1 + i\eta)\bigr)X = F_0.
A frequência natural não amortecida satisfaz \omega_n^2 = k/m. Em ressonância tomamos \omega = \omega_n, então -m\omega^2 + k = 0 e a parte real se anula, sobrando apenas a parte imaginária:
i\,k\,\eta\,X = F_0.
Tomando módulo, a amplitude na ressonância é
X_{\text{res}} = \frac{F_0}{k\,\eta}.
Esta fórmula é muito prática: em histerese, a amplitude em ressonância é determinada pela razão entre amplitude da força e o termo dissipativo k\eta.
Agora isolamos \eta:
\eta = \frac{F_0}{k\,X_{\text{res}}}.
Substituindo os valores dados: F_0 = 1000\\ \text{N}, k=100000\\ \text{N}/\text{m}, X_{\text{res}} = 0,1\\ \text{m},
\eta = \frac{1000}{100000 \cdot 0,1} = \frac{1000}{10000} = 0{,}1.
Logo o coeficiente de histerese é \eta = 0{,}1 (adimensional).

Passo 4

Agora calculamos a energia dissipada por ciclo em ressonância. Vou explicar a relação usada.
Para amortecimento por histerese, o trabalho dissipado por ciclo \Delta W está relacionado ao fator de perda \eta e à energia potencial máxima armazenada U_{\max} pela fórmula
\Delta W = 2\pi\,\eta\,U_{\max}.
A energia potencial máxima de um oscilador linear é a energia elástica no pico:
U_{\max} = \tfrac{1}{2} k X^2,
onde X é a amplitude. Então
\Delta W = 2\pi\,\eta \cdot \tfrac{1}{2}k X^2 = \pi\,\eta\,k\,X^2.
Em ressonância usamos X = X_{\text{res}} = 0,1\\ \text{m}, k=100000\\ \text{N}/\text{m} e \eta=0,1. Assim
\Delta W = \pi \cdot 0{,}1 \cdot 100000 \cdot (0{,}1)^2.
Calcule passo a passo:
(0{,}1)^2 = 0{,}01,
100000 \cdot 0{,}01 = 1000,
0{,}1 \cdot 1000 = 100,
\Delta W = \pi \cdot 100 = 100\pi\\ \text{J}.
Numericamente \,100\pi \approx 314{,}16\\ \text{J}.

Passo 5

Agora precisamos da amplitude em regime permanente para uma frequência arbitrária. Vou derivar a fórmula prática e depois aplicá-la a \omega = \tfrac{1}{4}\omega_n.
Partindo da expressão complexa já dada,
\bigl(-m\omega^2 + k(1 + i\eta)\bigr)X = F_0,
escrevemos a parte real e imaginária em função da razão adimensional r = \dfrac{\omega}{\omega_n}. Como m\omega^2 = k r^2, a rigidez efetiva complexa normalizada por k é (1 - r^2) + i\eta. Assim o módulo da rigidez complexa é
|k_{\text{eff}}| = k\sqrt{(1 - r^2)^2 + \eta^2}.
Portanto a amplitude é
X(\omega) = \frac{F_0}{k\sqrt{(1 - r^2)^2 + \eta^2}}.
Agora aplicamos para r = \tfrac{1}{4} = 0{,}25. Calculamos passo a passo:
  1. r^2 = (0{,}25)^2 = 0{,}0625.
  2. 1 - r^2 = 1 - 0{,}0625 = 0{,}9375.
  3. (1 - r^2)^2 = (0{,}9375)^2 = 0{,}87890625.
  4. \eta^2 = (0{,}1)^2 = 0{,}01.
  5. Soma: 0{,}87890625 + 0{,}01 = 0{,}88890625.
  6. Raiz: \sqrt{0{,}88890625} \approx 0{,}942818.
  7. Multiplica por k: k\sqrt{\cdots} \approx 100000 \cdot 0{,}942818 = 94281{,}8\\ \text{N/m}.
  8. Finalmente X = \dfrac{F_0}{\text{den}} = \dfrac{1000}{94281{,}8} \approx 0{,}0106\\ \text{m}.
Portanto a amplitude para \omega = \tfrac{1}{4}\omega_n é aproximadamente 0{,}0106\\ \text{m}.

Passo 6

Agora repetimos o mesmo para r = 3 (três vezes a frequência de ressonância).
Cálculos passo a passo:
  1. r^2 = 3^2 = 9.
  2. 1 - r^2 = 1 - 9 = -8.
  3. (1 - r^2)^2 = (-8)^2 = 64.
  4. \eta^2 = 0{,}01.
  5. Soma: 64 + 0{,}01 = 64{,}01.
  6. Raiz: \sqrt{64{,}01} \approx 8{,}000625.
  7. Multiplica por k: 100000 \cdot 8{,}000625 = 800062{,}5\\ \text{N/m}.
  8. Amplitude: X = \dfrac{1000}{800062{,}5} \approx 0{,}0012499\\ \text{m}.
Arredondando razoavelmente, X \approx 0{,}00125\\ \text{m}.

Resposta

(a) \eta = 0{,}1
(b) \Delta W = 100\pi\\ \text{J} \approx 314{,}16\\ \text{J}
(c) X\bigl(\omega=\tfrac{1}{4}\omega_n\bigr) \approx 0{,}0106\\ \text{m}
(d) X\bigl(\omega=3\omega_n\bigr) \approx 0{,}00125\\ \text{m}

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