3.80 The mass of a spring-mass system, with
and
, vibrates on a horizontal surface under a harmonic force of magnitude 200 N and frequency 20 Hz . Find the resulting amplitude of steady-state vibration. Assume the coefficient of friction between the mass and the horizontal surface as 0.25 .
Passo 1
O enunciado pede: “Encontrar a amplitude da vibração em regime permanente” de um sistema massa-mola submetido a uma força harmónica. Dados fornecidos (vou listar explicitamente tudo que temos):
a força externa tem amplitude
e frequência
Além disso foi dada a massa de atrito entre a massa e a superfície:
O que se pede: a amplitude
da oscilação em regime permanente (ou seja, depois de quaisquer transientes desaparecerem). Não há coeficiente de amortecimento viscoso dado — temos atrito seco (Coulomb) com coeficiente
sobre a superfície horizontal.
Passo 2
Modelagem física e estratégia de solução (explicação didática).
- A equação de movimento do sistema é, em forma ideal:
onde
é a pulsação da forçante e
é a força de atrito seco, que vale
em módulo e tem sinal oposto à velocidade (usa a função sinal de
). Esta força é não-linear (depende do sinal de
), então a resposta exata é complicada.
- Uma técnica padrão para obter uma estimativa prática da amplitude em regime periódico é usar a equivalência energética: comparar a energia dissipada por ciclo pelo atrito Coulomb com a energia dissipada por um amortecimento viscoso equivalente. Isto permite linearizar de forma aproximada e aplicar a fórmula de resposta em regime estacionário de um sistema linear amortecido.
- Vou descrever isto passo a passo e depois resolver numericamente. Essa aproximação é apropriada quando a massa está efetivamente deslizando durante todo o ciclo (condição que vamos verificar).
Passo 3
Cálculo das quantidades básicas (frequência angular e termo
).
- Converter a frequência em pulsação:
- Calcular
:
- Calcular
:
O módulo que aparecerá nas fórmulas é
.
Passo 4
Calcular a força de atrito seco (Coulomb).
- A força de atrito em módulo é
Tomando
,
Passo 5
Energia dissipada por ciclo: atrito Coulomb versus amortecimento viscoso equivalente (a aula prática).
- Se a resposta for aproximadamente senoidal
e o atrito for Coulomb atuando durante todo o ciclo (deslizamento completo), a energia dissipada por ciclo pelo atrito seco é conhecida e vale
Explicando rápido: durante um quarto de período o deslocamento vai de
a
etc.; a área total do avanço relativo multiplicada por
resulta em
.
- Para um amortecedor viscoso linear com coeficiente
, a energia dissipada por ciclo quando é
(derivação curta: energia por ciclo
.)
- Igualando as energias por ciclo para obter um coeficiente viscoso equivalente
:
Note que
depende de
: isto é a origem da não-linearidade mas permite uma aproximação por linearização harmónica (método do “describing function”).
Passo 6
Fórmula da amplitude usando amortecimento equivalente e manipulação algébrica.
- Para um sistema linear amortecido sujeito a
, a amplitude de regime estacionário é
Aqui substituímos
. Como
(multiplicando a expressão do passo anterior por
), então
- Agora resolvemos essa equação para
. Elevar ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando o denominador:
Isolando
:
Portanto, assumindo que
(condição necessária para deslize contínuo no ciclo), a solução positiva para a amplitude é
Essa é a expressão prática usada no método do describing function para atrito Coulomb em regime harmónico.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular.
- Verificar primeiro a condição de deslize contínuo:
e como
, temos
, logo a hipótese de deslizamento durante o ciclo é plausível.
- Calcular o numerador:
- Usar o denominador calculado no Passo 3:
. - Portanto a amplitude é
Passo 8
Interpretação final e comentário de confiança.
- O valor obtido é uma estimativa baseada na aproximação que substitui o atrito Coulomb por um amortecimento viscoso equivalente dependente da amplitude. Essa é uma técnica padrão para obter amplitude aproximada em problemas com atrito seco e força harmónica. Como verificado, a força de excitação é suficientemente maior que a «barreira» do atrito, então o sistema desliza e a aproximação é válida.
- Resultado prático: a amplitude é da ordem de grandeza do milímetro (bem pequena), pois a frequência de excitação é bastante alta comparada à frequência natural do sistema, fazendo com que a rigidez efetiva domine.