3.80 The mass of a spring-mass system, with m=15 \mathrm{~kg} and k=25 \mathrm{kN} / \mathrm{m}, vibrates on a horizontal surface under a harmonic force of magnitude 200 N and frequency 20 Hz . Find the resulting amplitude of steady-state vibration. Assume the coefficient of friction between the mass and the horizontal surface as 0.25 .

Passo 1

O enunciado pede: “Encontrar a amplitude da vibração em regime permanente” de um sistema massa-mola submetido a uma força harmónica. Dados fornecidos (vou listar explicitamente tudo que temos):
m=15\\ \mathrm{kg},
k=25\\ \mathrm{kN/m}=25000\\ \mathrm{N/m},
a força externa tem amplitude
F_0=200\\ \mathrm{N}
e frequência
f=20\\ \mathrm{Hz}.
Além disso foi dada a massa de atrito entre a massa e a superfície:
\mu=0,25.
O que se pede: a amplitude X da oscilação em regime permanente (ou seja, depois de quaisquer transientes desaparecerem). Não há coeficiente de amortecimento viscoso dado — temos atrito seco (Coulomb) com coeficiente \mu sobre a superfície horizontal.

Passo 2

Modelagem física e estratégia de solução (explicação didática).
  • A equação de movimento do sistema é, em forma ideal:
m\ddot x + kx + F_{\text{fric}} = F_0\sin(\omega t),
onde \omega=2\pi f é a pulsação da forçante e F_{\text{fric}} é a força de atrito seco, que vale F_f=\mu m g em módulo e tem sinal oposto à velocidade (usa a função sinal de \dot x). Esta força é não-linear (depende do sinal de \dot x), então a resposta exata é complicada.
  • Uma técnica padrão para obter uma estimativa prática da amplitude em regime periódico é usar a equivalência energética: comparar a energia dissipada por ciclo pelo atrito Coulomb com a energia dissipada por um amortecimento viscoso equivalente. Isto permite linearizar de forma aproximada e aplicar a fórmula de resposta em regime estacionário de um sistema linear amortecido.
  • Vou descrever isto passo a passo e depois resolver numericamen­te. Essa aproximação é apropriada quando a massa está efetivamente deslizando durante todo o ciclo (condição que vamos verificar).

Passo 3

Cálculo das quantidades básicas (frequência angular e termo (k-m\omega^2)).
  • Converter a frequência em pulsação:
\omega=2\pi f = 2\pi\cdot 20 = 40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 125,6637\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular m\omega^2:
m\omega^2 = 15\cdot(125{,}6637)^2 \approx 15\cdot 15791{,}367 \approx 236870{,}5\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcular k-m\omega^2:
k-m\omega^2 = 25000 - 236870{,}5 = -211870{,}5\\ \mathrm{N/m}.
O módulo que aparecerá nas fórmulas é |k-m\omega^2|=211870{,}5\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Calcular a força de atrito seco (Coulomb).
  • A força de atrito em módulo é
F_f=\mu m g.
Tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
F_f=0{,}25\cdot 15\cdot 9{,}81 \approx 36{,}7875\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Energia dissipada por ciclo: atrito Coulomb versus amortecimento viscoso equivalente (a aula prática).
  • Se a resposta for aproximadamente senoidal x(t)=X\sin(\omega t) e o atrito for Coulomb atuando durante todo o ciclo (deslizamento completo), a energia dissipada por ciclo pelo atrito seco é conhecida e vale
E_{\text{Coulomb}} = 4 F_f X.
Explicando rápido: durante um quarto de período o deslocamento vai de -X a +X etc.; a área total do avanço relativo multiplicada por F_f resulta em 4F_f X.
  • Para um amortecedor viscoso linear com coeficiente c, a energia dissipada por ciclo quando x=X\sin(\omega t) é
E_{\text{visc}} = \pi c \omega X^2.
(derivação curta: energia por ciclo =\int_0^{T} c \dot x^2 dt = c\omega^2 X^2 \int_0^{T}\cos^2(\omega t) dt = c\omega^2 X^2 \cdot \frac{T}{2} = c\omega^2 X^2 \cdot \frac{\pi}{\omega} = \pi c \omega X^2.)
  • Igualando as energias por ciclo para obter um coeficiente viscoso equivalente c_{\text{eq}}:
\pi c_{\text{eq}}\omega X^2 = 4 F_f X \quad\Rightarrow\quad c_{\text{eq}} = \frac{4 F_f}{\pi \omega X}.
Note que c_{\text{eq}} depende de X: isto é a origem da não-linearidade mas permite uma aproximação por linearização harmónica (método do “describing function”).

Passo 6

Fórmula da amplitude usando amortecimento equivalente e manipulação algébrica.
  • Para um sistema linear amortecido sujeito a F_0\sin(\omega t), a amplitude de regime estacionário é
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}.
Aqui substituímos c=c_{\text{eq}}. Como c_{\text{eq}}\omega = \dfrac{4 F_f}{\pi X} (multiplicando a expressão do passo anterior por \omega), então
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + \left(\dfrac{4 F_f}{\pi X}\right)^2}}.
  • Agora resolvemos essa equação para X. Elevar ao quadrado ambos os lados:
X^2 = \frac{F_0^2}{(k-m\omega^2)^2 + \left(\dfrac{4 F_f}{\pi X}\right)^2}.
Multiplicando o denominador:
\bigl((k-m\omega^2)^2\bigr) X^2 + \left(\dfrac{4 F_f}{\pi}\right)^2 = F_0^2.
Isolando X^2:
X^2 = \frac{F_0^2 - \left(\dfrac{4 F_f}{\pi}\right)^2}{(k-m\omega^2)^2}.
Portanto, assumindo que F_0>\dfrac{4F_f}{\pi} (condição necessária para deslize contínuo no ciclo), a solução positiva para a amplitude é
X = \frac{\sqrt{F_0^2 - \left(\dfrac{4 F_f}{\pi}\right)^2}}{|k-m\omega^2|}.
Essa é a expressão prática usada no método do describing function para atrito Coulomb em regime harmónico.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular.
  • Verificar primeiro a condição de deslize contínuo:
\frac{4F_f}{\pi} = \frac{4\cdot 36{,}7875}{\pi} \approx \frac{147{,}15}{3{,}1416} \approx 46{,}84\\ \mathrm{N},
e como F_0=200\\ \mathrm{N}, temos F_0>4F_f/\pi, logo a hipótese de deslizamento durante o ciclo é plausível.
  • Calcular o numerador:
\sqrt{F_0^2 - \left(\frac{4 F_f}{\pi}\right)^2} = \sqrt{200^2 - 46{,}84^2} \approx \sqrt{40000 - 2193{,}4} \approx \sqrt{37806{,}6} \approx 194{,}45\\ \mathrm{N}.
  • Usar o denominador calculado no Passo 3: |k-m\omega^2|=211870{,}5\\ \mathrm{N/m}.
  • Portanto a amplitude é
X \approx \frac{194{,}45}{211870{,}5}\\ \mathrm{m} \approx 9{,}175\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}918\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação final e comentário de confiança.
  • O valor obtido é uma estimativa baseada na aproximação que substitui o atrito Coulomb por um amortecimento viscoso equivalente dependente da amplitude. Essa é uma técnica padrão para obter amplitude aproximada em problemas com atrito seco e força harmónica. Como verificado, a força de excitação é suficientemente maior que a «barreira» do atrito, então o sistema desliza e a aproximação é válida.
  • Resultado prático: a amplitude é da ordem de grandeza do milímetro (bem pequena), pois a frequência de excitação é bastante alta comparada à frequência natural do sistema, fazendo com que a rigidez efetiva domine.

Resposta

X\approx9{,}18\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}918\\ \mathrm{mm}

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