3.83 O perfil da seção reta de uma canoa é modelado pela curva y= a x^{2}, onde a=3,89 \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{e} as coordenadas são medidas em metros. Suponha que a largura da canoa tenha valor constante W=0,6 \mathrm{~m} em todo o seu comprimento L=5,25 \mathrm{~m}. Estabeleça uma expressão algébrica geral, relacionando a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância di entre a superfficie da água e a borda da canoa. Calcule a massa total máxima para que a canoa năo afunde.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) estabelecer uma expressão algébrica geral que relacione a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância d entre a superfície da água e a borda da canoa; (2) calcular a massa total máxima para que a canoa não afunde.
Dados fornecidos (peguei o valor de W e a indicação de d na figura):
y = a x^{2},\quad a = 3{,}89\\ \text{m}^{-1}
W = 0{,}6\\ \text{m},\quad L = 5{,}25\\ \text{m}.
Interpretação da figura (uso estes pontos para montar a expressão): W é a largura total na borda (logo x=\pm W/2 no bordo), d é a distância vertical entre a borda e a superfície da água (medida para baixo). Vou assumir densidade da água doce \rho = 1000\\ \text{kg/m}^3 (valor padrão).

Passo 2

Defino o sistema de coordenadas e alturas para ficar claro: tomo o fundo (o vértice da parábola) em y=0. A borda corresponde a x=\pm W/2, então a altura da borda em relação ao fundo é
H = a\left(\frac{W}{2}\right)^2 = \frac{aW^2}{4}.
Se a borda está a uma altura H e a água fica a uma distância d abaixo da borda, a altura do nível da água (medida a partir do fundo) é
y_w = H - d.
Observação: para a canoa flutuar com água abaixo da borda precisamos ter 0\le y_w\le H, i.e. 0\le d\le H.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal submersa (área preenchida pela água). Para um nível de água em y=y_w, a secção submersa é a região 0\le y\le y_w entre as curvas x=\pm\sqrt{y/a}. Portanto a área submersa A_{\text{sub}} é
A_{\text{sub}} = \int_{y=0}^{y=y_w} 2\sqrt{\frac{y}{a}}\;dy.
Explico a integral de forma didática: dentro do integrando, \sqrt{y/a} = \frac{1}{\sqrt{a}}\,y^{1/2}. Usamos a primitiva de y^{1/2}, que é \frac{2}{3}y^{3/2}. Assim
A_{\text{sub}} = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{0}^{y_w}
A_{\text{sub}} = \frac{4}{3\sqrt{a}}\,y_w^{3/2}.
Comentário: aqui \sqrt{a} significa a^{1/2}. A unidade dá área em \text{m}^2 porque y_w está em \text{m}.

Passo 4

Volume de água deslocado V é a área da seção submersa vezes o comprimento L:
V = A_{\text{sub}}\;L = \frac{4}{3\sqrt{a}}\,y_w^{3/2}\;L.
Pelo princípio de Arquimedes, a massa total da canoa mais conteúdo M(d) que é suportada sem afundar é igual à massa de água deslocada:
M(d)=\rho\,V = \rho\,L\,\frac{4}{3\sqrt{a}}\;y_w^{3/2}.
Substituindo y_w=H-d temos a expressão geral pedida:
M(d)=\rho\,L\,\frac{4}{3\sqrt{a}}\;(H-d)^{3/2}.
Agora escrevo essa expressão de forma mais compacta usando H=\dfrac{aW^2}{4}. Primeiro calcule H^{3/2}:
H^{3/2}=\left(\frac{aW^2}{4}\right)^{3/2}=\frac{a^{3/2}W^{3}}{4^{3/2}}=\frac{a^{3/2}W^{3}}{8}.
Substituindo em M(d) e simplificando os fatores de potência de a e constantes obtemos
M(d)=\frac{\rho a W^{3} L}{6}\left(1-\frac{d}{H}\right)^{3/2}.
Resumo: duas formas equivalentes (use a que preferir)
M(d)=\rho\,L\,\frac{4}{3\sqrt{a}}\;(H-d)^{3/2}
M(d)=\frac{\rho a W^{3} L}{6}\left(1-\frac{d}{H}\right)^{3/2}.

Passo 5

Para encontrar a massa máxima que a canoa pode carregar sem afundar, tomamos o caso crítico em que a água atinge a borda (isto é, d=0 e y_w=H). Assim
M_{\max}=M(0)=\frac{\rho a W^{3} L}{6}.
Agora substituímos os valores numéricos ( \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, a=3{,}89\\ \text{m}^{-1}, W=0{,}6\\ \text{m}, L=5{,}25\\ \text{m}) passo a passo:
W^{3}=(0{,}6)^{3}=0{,}216\\ \text{m}^3
aW^{3}=3{,}89\times0{,}216=0{,}84024
aW^{3}L=0{,}84024\times5{,}25=4{,}41126
\frac{aW^{3}L}{6}=\frac{4{,}41126}{6}=0{,}73521
M_{\max}=\rho\times0{,}73521=1000\times0{,}73521=735{,}21\\ \text{kg}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três cifras significativas) obtemos M_{\max}\approx735\\ \text{kg}.

Resposta

M(d)=\rho\,L\,\dfrac{4}{3\sqrt{a}}\;(H-d)^{3/2} com H=\dfrac{aW^{2}}{4}
M(d)=\dfrac{\rho a W^{3} L}{6}\left(1-\dfrac{d}{H}\right)^{3/2}
M_{\max}= \dfrac{\rho a W^{3} L}{6}\approx735{,}2\\ \text{kg}

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