3.83 O perfil da seção reta de uma canoa é modelado pela curva
, onde
as coordenadas são medidas em metros. Suponha que a largura da canoa tenha valor constante
em todo o seu comprimento
. Estabeleça uma expressão algébrica geral, relacionando a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância di entre a superfficie da água e a borda da canoa. Calcule a massa total máxima para que a canoa năo afunde.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) estabelecer uma expressão algébrica geral que relacione a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância
entre a superfície da água e a borda da canoa; (2) calcular a massa total máxima para que a canoa não afunde.
Dados fornecidos (peguei o valor de e a indicação de
na figura):
Dados fornecidos (peguei o valor de
Interpretação da figura (uso estes pontos para montar a expressão):
é a largura total na borda (logo
no bordo),
é a distância vertical entre a borda e a superfície da água (medida para baixo). Vou assumir densidade da água doce
(valor padrão).
Passo 2
Defino o sistema de coordenadas e alturas para ficar claro: tomo o fundo (o vértice da parábola) em
. A borda corresponde a
, então a altura da borda em relação ao fundo é
Se a borda está a uma altura
e a água fica a uma distância
abaixo da borda, a altura do nível da água (medida a partir do fundo) é
Observação: para a canoa flutuar com água abaixo da borda precisamos ter
, i.e.
.
Passo 3
Calcular a área da seção transversal submersa (área preenchida pela água). Para um nível de água em
, a secção submersa é a região
entre as curvas
. Portanto a área submersa
é
Explico a integral de forma didática: dentro do integrando,
. Usamos a primitiva de
, que é
. Assim
Comentário: aqui
significa
. A unidade dá área em
porque
está em
.
Passo 4
Volume de água deslocado
é a área da seção submersa vezes o comprimento
:
Pelo princípio de Arquimedes, a massa total da canoa mais conteúdo
que é suportada sem afundar é igual à massa de água deslocada:
Substituindo
temos a expressão geral pedida:
Agora escrevo essa expressão de forma mais compacta usando
. Primeiro calcule
:
Substituindo em
e simplificando os fatores de potência de
e constantes obtemos
Resumo: duas formas equivalentes (use a que preferir)
Passo 5
Para encontrar a massa máxima que a canoa pode carregar sem afundar, tomamos o caso crítico em que a água atinge a borda (isto é,
e
). Assim
Agora substituímos os valores numéricos (
,
,
,
) passo a passo:
Arredondando de forma razoável (duas ou três cifras significativas) obtemos
.